Orthogonalité

En mathématiques, l'orthogonalité est la propriété algébrique d'un couple de vecteurs dont le produit scalaire est nul. En géométrie euclidienne, cela correspond au fait que ces deux vecteurs forment un angle droit. Dans le langage courant l'adjectif orthogonal est donc souvent employé comme synonyme de perpendiculaire même si ces deux notions ne sont pas strictement identiques.

Orthogonalité

$(E,(.|.))$ désignera un espace préhilbertien sur un corps $(\backslash mathbb\; K,+,\backslash bullet\; )$ ($E$ est un $\backslash mathbb\; K$-espace vectoriel).

Deux vecteurs $x$ et $y$ de E sont dits orthogonaux lorsque $(x|y)=0$. On note $x\backslash perp\; y$.

$0\_\{E\}$ est le seul vecteur orthogonal à tout vecteur de $E$ : $((x\; \backslash in\; E)\; \backslash and\; (\backslash forall\; y\; \backslash in\; E,\; (x|y)=0))\; \backslash Longrightarrow\; (x|x)=0\; \backslash Longrightarrow\; x=0\_\{E\}$

Familles orthogonales, normées, orthonormales

Dans toute cette partie, $I$ désigne un ensemble non vide.

Définitions

Soit $(x\_\{i\})\_\{i\; \backslash in\; I\}$ une famille de vecteurs d'un espace préhilbertien $(E,(.|.))$ indexés par I, alors :

$(x\_\{i\})\_\{i\; \backslash in\; I\}$ est une famille orthogonale $\backslash Longleftrightarrow\; (\backslash forall\; (i,j)\backslash in\; I^2,\; i\; \backslash neq\; j\; \backslash Longrightarrow\; (x\_\{i\}|x\_\{j\})=0)$

$(x\_\{i\})\_\{i\; \backslash in\; I\}$ est une famille normée $\backslash Longleftrightarrow\; \backslash forall\; i\; \backslash in\; I,\; ||x\_\{i\}||^\{2\}=1$

$(x\_\{i\})\_\{i\; \backslash in\; I\}$ est une famille orthonormale (ou orthonormée) $\backslash Longleftrightarrow\; \backslash forall\; (i,j)\; \backslash in\; I^\{2\},\; (x\_\{i\}|x\_\{j\})=\; \backslash delta\_\{ij\}\backslash Longleftrightarrow\; (x\_\{i\})\_\{i\; \backslash in\; I\}$ est une famille orthogonale, et : $\backslash forall\; i\; \backslash in\; I,\; ||x\_\{i\}||=1$ (on utilise ici le symbole de Kronecker : $\backslash delta\_\{ij\}=1$ si $i=j$, $\backslash delta\_\{ij\}=0$ sinon).

• Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.
• Toute famille orthonormale est donc libre.

Théorème de Pythagore

La propriété fondamentale des familles orthogonales est bien sûr le théorème de Pythagore :

Soit $(x\_\{i\})\_\{i\; \backslash in\; I\}$ une famille orthogonale finie (si $card(I)=n$, on peut identifier I à $1,\; n$) d'un espace préhilbertien $(E,(.|.))$. Alors :

$\backslash left\backslash |\; \backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}\; x\_\{i\}\; \backslash right\backslash |^\{2\}\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}\; \backslash |x\_\{i\}\backslash |^\{2\}$

Attention : La réciproque est vraie si et seulement si $n\backslash le2$.

Elle est également vraie dans un espace préhilbertien reel

Théorème de Gram-Schmidt

Soit $(e\_\{i\})\_\{i\; \backslash in\; \backslash N\_\{n\}\}$ une famille libre, il existe une famille $(b\_\{i\})\_\{i\; \backslash in\; \backslash N\_\{n\}\}$ telle que :

• $\backslash forall\; i\; \backslash in\; \backslash N\_\{n\},\; b\_\{i\}\; \backslash neq\; 0\_\{E\}$
• la famille $(b\_\{i\})\_\{i\; \backslash in\; \backslash N\_\{n\}\}$ est orthonormale
• $\backslash forall\; p\backslash in\; [\backslash ![1,n]\backslash !],\; \{\backslash rm\; Vect\}\backslash left((b\_\{i\})\_\{i\; \backslash in\; \backslash N\_\{p\}\}\backslash right)\; =\; \{\backslash rm\; Vect\}\backslash left((e\_\{i\})\_\{i\; \backslash in\; \backslash N\_\{p\}\}\backslash right)$

La condition $\backslash forall\; i\; \backslash in\; \backslash N\_\{n\},\; (e\_i|b\_i)\; >\; 0$ assure par ailleurs l'unicité d'une telle $(b\_\{i\})\_\{i\; \backslash in\; \backslash N\_\{n\}\}$. Cette nouvelle famille orthonormée obtenue est alors appelée l'orthonormalisée au sens de Schmidt de la famille $(e\_\{i\})\_\{i\; \backslash in\; \backslash N\_\{n\}\}$.

Parties orthogonales

Soient $A$ et $B$ des sous-ensembles de $E$.

Définitions

$A^\{\backslash perp\}=\backslash \{x\; \backslash in\; E\; |\; \backslash forall\; a\; \backslash in\; A,\; (x|a)=0\; \backslash \}$

$A^\{\backslash perp\}$ est appelé orthogonal de A. C'est l'ensemble des vecteurs de E orthogonaux à la partie A de E. On le notait parfois $A^\{o\}$.

$x\; \backslash in\; E$ est orthogonal à la partie $A$ de $E$ si $\backslash forall\; a\; \backslash in\; A,\; (x|a)=0$.

Les parties $A$ et $B$ de $E$ sont orthogonales si $\backslash forall\; (a,b)\; \backslash in\; A\; \backslash times\; B,\; (a|b)=0$.

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Propriétés

$A^\{\backslash perp\}$ est un sous-espace vectoriel de $E$.

$A\; \backslash subset\; B\; \backslash Longrightarrow\; B^\{\backslash perp\}\; \backslash subset\; A^\{\backslash perp\}$.

$A^\{\backslash perp\}=(vect(A))^\{\backslash perp\}$

$E^\{\backslash perp\}=\backslash \{0\_\{E\}\backslash \}$ et $\backslash \{0\_\{E\}\backslash \}^\{\backslash perp\}=E$

Si, $a\; \backslash in\; E$,$a\; \backslash neq\; 0\_\{E\}$, alors $a^\{\backslash perp\}$ est un hyperplan de $E$.

Si E est supposé de dimension finie :

$\backslash dim\; A^\{\backslash perp\}=\; \backslash dim\; E\; -\; \backslash dim\; A$ (=codim A)

$E\; =\; A\; \{\backslash oplus\}\; A^\{\backslash perp\}$

$(A^\{\backslash perp\})^\{\backslash perp\}=A$ (en général faux en dimension quelconque)

Soient F et G deux sous espaces vectoriels de dimension finie d'un espace Euclidien E. Alors

$(F^\{\backslash perp\})\; \backslash cap\; (G\{\backslash perp\})\; =\; (F+G)^\{\backslash perp\}$

$(F^\{\backslash perp\})\; +\; (G\{\backslash perp\})\; =\; (F\; \backslash cap\; G)^\{\backslash perp\}$

Voir aussi

• Projection orthogonale
• Procédé de Gram-Schmidt

= Informatique =

Le jeu d'instructions d'un ordinateur est dit orthogonal lorsque (presque) toutes les instructions peuvent s'appliquer à tous les types de données. Un jeu d'instruction orthogonal simplifie la tâche du compilateur puisqu'il y a moins de cas particuliers à traiter : les opérations peuvent être appliquées telles quelles à n'importe quel type de donnée. Un exemple typique est le VAX ou le PDP-10.