Paraboloïde

En mathématiques, un paraboloïde est une surface du second degré de l'espace euclidien. Il fait donc partie des quadriques, avec pour caractéristique principale de ne pas posséder de centre de symétrie.

Certaines sections d'un paraboloïde avec un plan sont des paraboles. D'autres sont, selon le cas, des ellipsesss ou des hyperbole. On distingue donc les paraboloïdes elliptiques et les paraboloïdes hyperboliques.

Paraboloïde elliptique

Cette surface peut s'obtenir en faisant glisser une parabole sur une autre parabole tournant sa concavité dans la même direction.

Dans un repère bien choisi, son équation est de la forme

$$

\left( \frac{x}{a} \right) ^2 + \left( \frac{y}{b} \right) ^2 - z = 0

Le cas $a\; =\; b$ fournit, en repère orthonormal, le cas particulier du paraboloïde de révolution. Ses sections avec un plan perpendiculaire à l'axe de rotation sont alors des cercles. Le schéma ci-contre représente, pour $x$ et $y$ compris entre -1 et 1, la surface d'équation $z=x^2+y^2$. Les cercles « horizontaux » se voient en trait bleu-vert et les paraboles « verticales » en trait jaune.

Cette surface possède des applications classiques dans le domaine des miroirs. Elle donne sa forme autant à des projecteurss comme les phares de voiture qu'à des capteur comme les antennes paraboliques ou les fours solaires tels que celui d'Odeillo près de Font-Romeu dans les Pyrénées-Orientales. L'avantage d'une surface parabolique par rapport à une découpe sphérique est la concentration des rayons réfléchis en un seul point : le point focal. Une surface sphérique ne va pas réflechir les rayons en un seul point mais va les disperser sur son axe de rotation en fonction de l'angle d'incidence.

Le volume du bol paraboloïde elliptique de hauteur $h$ est donné par la formule$V\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; S\; h$, où $S$ désigne l'aire de l'ellipse qui le délimite.

Paraboloïde hyperbolique

Cette surface peut s'obtenir en faisant glisser une parabole sur une autre parabole tournant sa concavité dans la direction opposée. C'est aussi une surface réglée qu'on peut engendrer par le déplacement d'une droite s'appuyant sur deux droites fixes non coplanaires.

Dans un repère bien choisi, son équation est de la forme

$$

\left( \frac{x}{a} \right) ^2 - \left( \frac{y}{b} \right) ^2 - z = 0\,\!

La forme particulière de cette surface lui vaut le surnom de selle de cheval. Le schéma ci-contre représente, pour $x$ et $y$ compris entre -1 et 1, la surface d'équation $z=x^2-y^2\backslash ,\backslash !$. On reconnaît, en jaune, des hyperboles « horizontales » qui dégénèrent en droites sécantes pour $z=0\backslash ,\backslash !$, et, en violacé, des paraboles « verticales ».

La selle de cheval se distingue de la selle de singe [1] , plus générique, parce qu'elle représente un minimax (selon le plan sécant utilisé, on trouve soit un minimum, soit un maximum). La selle de singe n'a pas cette propriété. Elle peut être visualisée comme une selle sur laquelle un singe pourrait s'asseoir sans gêner ses jambes ni sa queue. Voici un exemple de selle de singe :

$$

z = x \left( x^2 - ay^2 \right)\,\!