Pi

Histoire

La lettre grecque 'π' est la première des mots grecs περιφέρεια (périphérie) et περίμετρος (périmètre, c'est à dire circonférence).

Le nombre $\pi\,$ a très tôt été une source d'inspiration pour de nombreux mathématiciens, et ce autant en algèbre qu'en [[Analyse (mathématiques)| analyse]]. Ainsi, dès l'Antiquité, les savants, notamment les savants Grecs, se sont penchés sur les propriétés de ce nombre lors d'étude sur des problèmes de géométrie.

La plus ancienne valeur de $\pi\,$ dont la véracité est attestée provient d'une tablette babylonienne en écriture cunéiforme, découverte en 1936. Cette tablette date de 2000 avant J.-C. Les Babyloniens y seraient arrivés en comparant le périmètre du cercle avec celui de l'hexagone inscrit, égal à trois fois le diamètre ; ils en déduisirent une des premières valeurs connues de $\pi$ : $\pi = 3 + \frac{1}{8}$ (= 3,125).

Découvert en 1855, le papyrus de Rhind contient le texte, recopié vers l'an 1650 avant notre ère par le scribe égyptien Ahmès, d'un manuel de problèmes pédagogique plus ancien encore. On trouve trace d'un calcul qui implique que $\pi\,$ est évalué à $\left(\frac{16}{9}\right)^2$ (≈ 3,160...).

Formules incluant π

Les formules intéressantes incluant $\pi\,$ sont innombrables et apparaissent dans quasiment tous les domaines des mathématiques et des sciences.

Géométrie

Pi apparaît dans beaucoup de formules de géométrie impliquant les cercless et les sphère

Forme géométrique Formule
Circonférence d'un cercle de rayon r et de diamètre d $C = 2 \pi r = \pi d \,\!$
Aire d'un disque de rayon r $A = \pi r^2 \,\!$
Aire d'une ellipse de demi-axes a et b $A = \pi a b \,\!$
Volume d'une sphère de rayon r $V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{\pi d^3}{6} \,\!$
Aire surfacique d'une sphère de rayon r $A = 4 \pi r^2 = \pi d^2 \,\!$
Volume d'un cylindre de hauteur h et de rayon r $V = \pi r^2 h \,\!$
Aire surfacique d'un cylindre de hauteur h et de rayon r $A = 2 ( \pi r^2 ) + ( 2 \pi r ) h = 2 \pi r (r + h) \,\!$
Volume d'un cône de hauteur h et de rayon r $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \,\!$
Aire surfacique d'un cône de hauteur h et de rayon r $A = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r^2 = \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2}) \,\!$
La surface d'un cylindre circonscrit à la sphère et de même hauteur est la même (bases du cylindre exclues).
$\pi\,$ se retrouve aussi dans le calcul des surfaces et volumes des hypersphères (à plus de 3 dimensions). La mesure d'angle 180° (en degrésss) est égale à $\pi\,$ radian.

Analyse

$\pi = \lim_{n \to \infty} \left( n \cdot \sin \left( { \pi \over n } \right) \right) = \lim_{n \to \infty} \left( n \cdot \tan \left( { \pi \over n } \right) \right)$ .

Les deux suites de termes

s_n = n \cdot \sin \left( {\pi \over n}\right )

, et

t_n = n \cdot \tan \left( { \pi \over n } \right)

n \geqslant 3

, représentent les demi-périmètres des polygones réguliers à n côtés, inscrit dans le cercle trigonométrique pour

s_n\,

, exinscrit pour

t_n\,

. On les exploite par des suites extraites dont l'indice (le nombre de côtés du polygone) double à chaque itération, pour obtenir

\pi\,

par passage à la limite d'expressions utilisant les opérations arithmétiques élémentaires et la racine carrée. Ainsi on peut s'inspirer de la méthode utilisée par Archimède — voir historique du calcul de

\pi\,

— pour donner une définition par récurrence des suites extraites de termes

s_{2^m}

t_{2^m}

, ou encore

s_{3.2^m}

t_{3.2^m}

, par exemple à l'aide des identités trigonométriques usuelles:

\begin{array}{lll}

t_{2n}=2{s_n\cdot t_n\over s_n+t_n} & t_3=3\sqrt 3& t_4=4\\ s_{2n}=\sqrt{s_n\cdot t_{2n}} & s_3={3\sqrt 3\over 2} & s_4={2\sqrt 2}\,. \end{array}

En utilisant les identités trigonométriques,

2 \cdot \sin \left( { x \over 2 } \right) = \sqrt{2-2 \cdot \cos \left( x \right) }

2 \cdot \cos \left( { x \over 2 } \right) = \sqrt{2+2 \cdot \cos \left( x \right) } (x \in [0, \pi ])

, on peut exprimer

s_2^{k+1}

s_{3.2}^k (k \geqslant 1)

par emboîtements successifs de racines carrées. On obtient les formules qui suivent pour

\pi\,

π peut alors s'exprimer sous la forme d'une itération infinie de racines carrées :

\pi = \lim_{k \to \infty} \left ( 2^{k} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}}} \right )

, où k est le nombre de racines carrées emboitées

ou encore :

\pi = \lim_{k \to \infty} \left ( 3\cdot2^{k-1} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}}}} \right )

Une autre expression de $s_2^{k+1}$ , qui peut se déduire simplement de la première de ces deux égalités (multiplier par $\sqrt{2+\sqrt{\ldots}}$ , conduit au produit infini suivant (formule de François Viète, 1593).

\frac{\pi}2=
\frac{2}{\sqrt2}\cdot
\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt2}}\cdot
\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}\cdot\cdots

$\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots + \frac{(-1)^k}{2k+1} + \cdots = \frac{\pi}{4}$ (formule de Leibniz inspirée de James Gregory)
$\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdot \cdots \cdot \frac{2k + 2}{2k+1} \cdot \frac{2k+2}{2k+3} \cdot \cdots = \frac{\pi}{2}$ (produit de Wallis)
$\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots + \frac{1}{k^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}$ (Euler)
$\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots + \frac{1}{k^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}$

et plus généralement, Euler indiqua que ζ(2n) est un multiple rationnel de

\pi^{2n}\,

pour un entier positif n

$\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}$ (fonction gamma d'Euler)
$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$
$n! = \Gamma(n + 1) \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$ (formule de factorielle de Stirling)
$e^{i \pi} + 1 = 0\;$ (identité d'Euler, aussi appelée « la formule la plus remarquable au monde » par Richard Feynman)
π peut s'écrire sous forme de fractions continues généralisées remarquables :

\frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{\cdots}{\cdots + \frac{k^2}{(2k+1) + \cdots}}}}}}}

= {1 + {1^{2}\over 2

             + {3^{2}\over 2
             + {5^{2}\over 2
             + {7^{2}\over 2
             + {9^{2}\over 2
             + {11^{2}\over 2 + ... }}}}}}}   (William Brouncker)

\frac{\pi}{2} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1/2 + \frac{1}{1/3+\,\cdots+ \frac{1}{1/n+\,\cdots}}}}

(il y a d'autres représentations sur [1]

)

$\sum_{k=0}^{n} \varphi (k) \sim 3 n^2 / \pi^2$ où $\varphi\,$ est la fonction indicatrice d'Euler (cf. aussi les suites de Farey).
$\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\ dx = {\pi \over 4}\,$ (aire d'un quart de cercle unitaire)

Théorie des nombres

La fréquence d'apparition de paires d'entiers naturels premiers entre eux parmi les paires d'entiers comprises entre 0 et N tend vers $\frac{6}{\pi^2}\,$ quand N tend vers l'infini.

Le nombre moyen de façons d'écrire deux entiers positifs quelconques compris entre 0 et N comme la somme de deux carrés parfaits, en tenant compte de l'ordre, tend vers $\frac{\pi}{4}\,$ quand N tend vers l'infini.

Systèmes dynamiques / Théorie ergodique

La probabilité pour que deux entiers naturels soient premiers entre eux est $\frac{6}{\pi^2}\,$ , au sens où si l'on tire au hasard deux entiers naturels compris entre 1 et N (où N est un entier naturel non nul fixé) selon la loi uniforme, cette probabilité tend vers $\frac{6}{\pi^2}\,$ lorsque N tend vers l'infini.

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{x_i} = \frac{2}{\pi}

presque partout sur [0, 1] où les x_i sont des itérés du plan logistique pour r = 4.

Calcul de la valeur de pi

Du fait de sa nature irrationnelle, le nombre π ne possède pas de développement décimal fini ou périodique. Il en résulte que l'on ne peut en calculer qu'une écriture décimale approchée. Par exemple, une valeur approchée avec 100 décimales est Notons qu'une précision de 26 décimales suffit pour estimer la taille de l'univers avec une précision égale à la taille d'un atome

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 4587513258 ...

Pour l'utilisation courante, 3,14 ou 22/7 sont souvent suffisants, bien que les ingénieurs utilisent plus souvent 3,1416 (5 chiffres significatifs) ou 3,14159 (6 chiffres significatifs) pour plus de précision dans leurs calculs préliminaires (dans les calculs finaux, cependant, ils doivent utiliser la précision maximale de l'ordinateur, soit de 8 à 19 chiffres significatifs). 355/113 est une fraction facilement mémorisable qui donne 7 chiffres significatifs.

Historique du calcul de Pi

Au les Babyloniens utilisaient l'approximation 25 / 8 et les Égyptiens ( (16 / 9)² = 3,16049...) qui était une assez bonne approximation. On ne dispose du témoignage d'une meilleure approximation qu'au vers 250 av. J.-C. avec le traité d'Archimède sur la mesure du cercle. Grâce à une méthode consistant à encadrer un cercle entre deux suites polygones, dont le nombre de côtés double à chaque itération, Archimède obtint :

\frac{223}{71} < \pi < \frac{22}{7} (

≈

3,1408 < \pi < 3,1428...)

soit, dit de façon très anachronique, une précision de

2.10^{-3}

et 2 décimales exactes.

En Perse en 1429, Al-Kashi calcula 14 décimales de $\pi$ . En 1596, toujours avec des méthodes géométriques, le Hollandais Ludolph van Ceulen calcula 20 décimales, puis 34 en 1609. Il fut si fier de son exploit (il y consacra une bonne partie de sa vie) qu'il demanda à ce que le nombre soit gravé sur sa tombe.

Ensuite, grâce au développement de l'analyse au , avec notamment les sommes et produits infinis, le calcul des décimales de Pi s'accéléra.

James Gregory(1638 - 1675) découvre la formule suivante

\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}=...=\sum_{k=o}^{\infty}\frac{(-1)^{k} x^{2k+1}}{2k+1}

qui permet en faisant

x=1

de trouver une approximation de

\frac{\pi}{4}

\pi=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...\right)=4\sum_{k=o}^{\infty}\frac{(-1)^k}{2k+1}

Gregory ne l'a jamais écrite explicitement, peut-être est-ce parce qu'il avait compris qu'elle n'était guère utile pour calculer π. En effet, la précision du calcul est de 1/(2n+1), c'est à dire qu'il est nécessaire de calculer 500 termes pour n'avoir une erreur que sur la troisième décimale. En fait, la formule pour π avait déjà été proposée vers 1410 par le mathématicien indien Madhava of Sangamagramma (1350 - 1425) qui calcule ainsi 11 décimales de π Biographie de Madhava

sur le site de l'université de Saint-Andrew. Gregory proposa aussi une méthode itérative de calcul de

\pi

qui utilise des polygones réguliers à

n

cotés, mais qui fait intervenir l'aire au lieu du périmètre. Si l'on note

A_n

B_n

les aires des polygones réguliers à n côtés inscrit et circonscrit à un cercle de rayon 1, on trouve les relations :

A_{2n}=\sqrt{A_n B_n}\qquad

\qquad B_{2n}=\frac{2B_n A_{2n}}{(B_n+A_{2n})}

qui conduisent à des calculs beaucoup plus efficaces que ceux de la série de Gregory, mais ne donnent quère mieux que la méthode d'Archimède elle-même. Grégory utlilise ces calculs pour tenter de prouver que π est transcendant Squaring the circle

sur le site de l'université de Saint Andrews

Isaac Newton calcula 16 décimales en 1665, John Machin 100 en 1706. Vers 1760, Euler calcula 20 décimales en une heure (à comparer avec la trentaine de décimales obtenue par Van Ceulen en plus de 10 ans de calcul).

Le mathématicien slovène Jurij Vega calcula en 1789 les 140 premières décimales π parmi lesquelles 137 étaient correctes. Ce record tiendra plus de 50 ans. Il améliora la formule que John Machin avait trouvée en 1706 et sa méthode est toujours mentionnée aujourd'hui.

Le mathématicien William Shanks passa 20 ans de sa vie à calculer les décimales de Pi. Il en calcula 707, mais seules les 528 premières étaient correctes. À l'occasion de l'exposition universelle de Paris de 1937, celles-ci furent malheureusement gravées dans la salle π du Palais de la Découverte. L'erreur ne fut détectée qu'en 1945.

Le calcul des décimales de Pi s'emballa au avec l'apparition de l'informatique : sont calculées en 1949 par le calculateur américain ENIAC, décimales sont obtenues en 1958, en 1961, en 1973, en 1982, en 1989, puis la même année. En 2002, décimales étaient connues.

Méthodes de calcul de Pi

Les formules de Machin

La formule de Machin utilisée par John Machin, similaire à des formules encore utilisées aujourd'hui, permet un calcul rapide :

\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}

Il l'obtint avec un développement en série de Taylor de la fonction arctan(x). Cette formule peut être vérifiée aisément en coordonnées polaires dans le plan complexe, avec

(5+i)^4 \times (-239 + i) = -114244 \times (1+i)

Les formules de ce genre sont nommées formules de Machin.

Les approximations très précises de π sont généralement calculées avec l'algorithme de Gauss-Legendre et l'algorithme de Borwein; l'algorithme de Salamin-Brent, inventé en 1976 a aussi été utilisé pour de très grands nombres de décimales.

On peut voir de décimales de $\pi$ et de $\frac{1}{\pi}$ sur le Projet Gutenberg (voir liens externes).

Le record actuel est de de décimales, déterminées après 600 heures de calcul en novembre 2002 sur un supercalculateur parallèle Hitachi à 64 nœuds, avec 1 téraoctet de mémoire centrale, qui pouvait effectuer milliards d'opérations en virgule flottante par seconde, soit près de deux fois plus que pour le précédent record (206 milliards de décimales); les formules de Machin suivantes ont été utilisées pour cela :

\frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}

(K. Takano, 1982)

\frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}

(F. C. W. Störmer, 1896)

Ces approximations sont tellement grandes qu'elles n'ont aucune utilisation pratique, si ce n'est tester les nouveaux supercalculateurs.

D'autres méthodes et algorithmes sont actuellement à l'étude et mis en œuvre comme l'utilisation en parallèle d'ordinateurs connectés sur le réseau Internet.

Le calcul isolé des décimales de Pi

En 1995 David Bailey, en collaboration avec Peter Borwein et Simon Plouffe, a découvert une nouvelle formule de π, une série (souvent appelée formule BBP):

\pi = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)

Cette formule permet de calculer facilement la n décimale binaire ou hexadécimale de π, sans avoir à calculer les décimales précédentes. Le site de Bailey en contient la dérivation et l'implémentation dans de nombreux langages de programmation. Grâce à une formule dérivée de la formule BBP, le chiffre de π en base 2 a été obtenu en 2001.

Un an plus tard, Simon Plouffe met au point un algorithme permettant le calcul de la n décimale de π, mais cette fois-ci en décimal. Il est décrit dans un court article disponible depuis la page de Simon Plouffe (http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/Simon/articlepi.html). Malheureusement, cet algorithme qui permet actuellement de déterminer en base 10 un chiffre précis et isolé de π est moins rapide que celui qui consiste à calculer tous les chiffres décimaux précédents.

Autres formules

D'autres formules ont été utilisées pour calculer π dont:

\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}

(formule due à Ramanujan)

\frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}}

(formule due à David et Gregory Chudnovsky)

Retenir pi

Un moyen mnémotechnique populaire (mais peu pratique) est le poème :

Que j'aime à faire apprendre un nombre utile aux sages !

Immortel Archimède, artiste, ingénieur,

Qui de ton jugement peut priser la valeur ?

Pour moi ton problème eut de pareils avantages.

Jadis, mystérieux, un problème bloquait

Tout l'admirable procédé, l'œuvre grandiose

Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs.

Ô quadrature ! Vieux tourment du philosophe

Insoluble rondeur, trop longtemps vous avez

Défié Pythagore et ses imitateurs.

Comment intégrer l'espace plan circulaire ?

Former un triangle auquel il équivaudra ?

Nouvelle invention : Archimède inscrira

Dedans un hexagone ; appréciera son aire

Fonction du rayon. Pas trop ne s'y tiendra :

Dédoublera chaque élément antérieur ;

Toujours de l'orbe calculée approchera ;

Définira limite ; enfin, l'arc, le limiteur

De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle

Professeur, enseignez son problème avec zèle

Le nombre de lettres de chaque mot correspond à une décimale, sauf pour le chiffre '0' dont le codage correspond à un mot de 10 lettres.

En 2005, un japonais de 59 ans, Akira Haraguchi, a réussi à aligner par cœur décimales de pi en 13 heures. Il réitéra son record un an plus tard (2006) en mémorisant et récitant publiquement décimales pendant 16 heures. Cet exploit a été homologué par le Livre Guinness des records.

Questions ouvertes

Une question ouverte importante est de savoir si π est un nombre normal, c'est-à-dire si n'importe quelle succession de n chiffres apparaît dans la valeur décimale de π avec la même probabilité qu'une autre succession de n chiffres, comme on s'y attendrait pour une suite infinie et complètement aléatoire de chiffres. Cela devrait en vérité être vérifié dans n'importe quelle base et non seulement en base 10. Bailey et Crandall ont montré en 2000 que l'existence de la formule Bailey-Borwein-Plouffe ci-dessus et de formules similaires entraîne la normalité en base 2 de π.

Dans le même esprit, on ne sait pas si π est un nombre univers, c'est-à-dire un nombre dont on peut retrouver n'importe quelle succession de chiffres de longueur finie peu importe la probabilité d'apparition de celle-cihttp://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./n/nbunivers.html.

On ne sait même pas quels sont les chiffres du développement décimal dont le nombre d'apparitions est infini.

De la nature de π

En géométrie non euclidienne, la somme des angles d'un triangle peut être supérieure ou inférieure à π, et le rapport de la circonférence du cercle à son diamètre peut aussi être différent de π. Cela ne change pas la valeur de π, mais cela affecte les formules dans lesquelles ce nombre apparaît. En particulier, la forme de l'Univers n'affecte pas la valeur de π : c'est une constante mathématique, pas une valeur physique.

Voir aussi

Liens internes

Livres

Jean-Paul Delahaye, Le fascinant nombre π, Éditions Belin, Pour la Science - ISBN 2-9029-1825-9
Pierre Eymard, Jean-Pierre Lafon, Autour du nombre Pi, Éditions Hermann, Paris, 1999 - ISBN 2705614435
Jörg ARNDT & Christoph HAENEL : À la poursuite de $\pi\,$ , Éditions Vuibert, 2006 - ISBN 2-7117-7170-9

Liens externes

Une lecture humoristique de la Bible, intitulée 'God Said Pi = 3' a conduit à revoir la valeur décimale de π. Il s'agit d'une interprétation créationniste d'un passage du Premier livre des Rois, chapitre 7 versets 23 à 26 : http://gospelofreason.wordpress.com/2007/06/13/god-said-pi-3-stand-by-your-beliefs-dammit/
pi314.net : un site dédié à pi
www.nombrepi.com : un autre site dédié au nombre pi
Peripheria : le portail francophone sur le nombre pi
[1] : La constante pi dans le dictionnaire des nombres
Site permettant une recherche de chiffres dans les 200 000 000 premières décimales
Exposé sur Pi 'Comment approximer la constante?' , démonstrations de la formule de Viète, du théorème de Buffon, utilisation de la radioactivité
le site Wolfram Mathematics compile de nombreuses formules pour π
Finding the value of Pi
PlanetMath: Pi
Archive des décimales de π , 32 premiers millions de décimales disponibles (en anglais)
programme pour extraire les décimales de Pi

Pi