Pierre de Fermat

Biographie

Son père, Dominique Fermat, était un marchand aisé, bourgeois et second consul de la ville comme marchand de cuir et autres denrées. On ne sait pas où il a effectué ses études primaires. Par la suite, il fait des études à Toulouse et de droit à Orléans. Dès 1631, il achète une charge de conseiller du roi à la Chambre des Requêtes du Parlement de Toulouse. Il épouse cette année-là Louise de Long avec qui il aura cinq enfants. Avec fidélité et assurance dans cet emploi de magistrat, il remplit sa tâche et grimpe rapidement les échelons vers un emploi de notable à la Chambre Criminelle et la Grand’ Chambre et enfin, membre de la chambre de l'édit de Castres (1648). C'est à ce dernier poste qu'une particule de noblesse s'ajoute à son nom et il se nomme dorénavant Pierre de Fermat.

Ses talents de mathématicien se sont exercés à part de son travail de magistrat puisque les grands écrits que l'on ait retrouvés de lui sont des annotations dans des textes renommés tels l'Arithmetica de Diophante et une partie de sa correspondance avec les scientifiques du . Sa formation en tant que mathématicien n'est que peu connue : il semble qu'il a étudié les œuvres de François Viète qu'il trouve dans la bibliothèque d'un ami, Étienne d'Espagnet.

À ses amis mathématiciens (Descartes, Pascal, Roberval, Torricelli, Huygens, Mersenne), il demande de démontrer par la preuve les théories qu'il avance ce qui ravive l'ire des autres envers lui. Il se dispute en particulier avec Descartes en 1637. En 1652, la fameuse peste qui ravage la France s'attaquera à lui mais il y fera face et la combattra. Ce n'est qu'en 1670 que son théorème est exposé au public. Il commente, en l'étendant, Diophante, et rétablit avec une admirable sagacité plusieurs ouvrages perdus d'Apollonius (De Locis planis, des lieux plans, en 1636) et d'Euclide. Il est en même temps un habile helléniste et un profond jurisconsulte. Ce savant cachait ses méthodes, dont quelques-unes ont été perdues avec lui.

Il s'est aussi intéressé aux sciences physiques ; on lui doit notamment le Principe de Fermat en optique.

Après sa mort

Il ne reste après son décès qu'une importante correspondance dispersée dans toute l'Europe.

Le fils de Pierre de Fermat publie, en 1670, une édition de l'Arithmetica de Diophante, annoté par son père, puis en 1679 une série d'articles et une sélection de sa correspondance sous le nom de Varia opera mathematica.

En 1839, Guglielmo Libri tente de soustraire un certain nombre de manuscrits, dont une partie seulement sera récupérée.

Charles Henry et Paul Tannery publient, au début du XX siècle, les Œuvres de Fermat en quatre volumes et un supplément (1922).

Contributions

]] Il partage avec Descartes la gloire d'avoir appliqué l'algèbre à la géométrie. Il imagina pour la solution des problèmes, une méthode, dite de maximis et minimis, qui le fait regarder comme le premier inventeur du calcul différentiel dont il est un précurseur : il est le premier à utiliser la formule (sinon le concept) du nombre dérivé.

Il pose en même temps que Blaise Pascal les bases du calcul des probabilités. Mais sa contribution majeure concerne la théorie des nombres et les équations diophantiennes. Auteur de plusieurs théorèmes ou conjectures dans ce domaine, il est au cœur de la « théorie moderne des nombres ».

Il est très connu pour deux « théorèmes » :

le « petit théorème de Fermat » ;
le « dernier théorème de Fermat » ; ce dernier n'était qu'une conjecture et l'est resté durant près de trois siècles de recherches fiévreuses.

Petit théorème de Fermat

Si p est un nombre premier et a un entier naturel non divisible par p, alors

a^{p-1} \equiv 1\pmod{p}

Voir aussi : Théorème d'Euler, dont ce théorème est un cas particulier.

Théorème des deux carrés de Fermat

Pour qu'un nombre premier impair soit la somme de deux carrés, il faut et il suffit qu'il soit congru à 1 modulo 4.

Théorème de Fermat sur les nombres polygonaux

Tout entier s'écrit :

comme somme d'au plus 3 nombres triangulaires
comme somme d'au plus 4 nombres carrés
comme somme d'au plus 5 nombres pentagonaux
etc.
- nombres triangulaires : $1;3(=1+2);6(=1+2+3);10(=1+2+3+4)...\!$ : le n-ième nombre triangulaire est égal à la somme des n premiers entiers naturels non nuls ;
- nombres carrés : $1;4(=1+3);9(=1+3+5);16(=1+3+5+7)... \,\!$ : le n-ième nombre carré est égal à la somme des n premiers entiers naturels impairs)
- nombres pentagonaux : $1;5(=1+4);12(=1+4+7);22(=1+4+7+10)... \,\!$ : le n-ième nombre pentagonal est égal à la somme des n premiers entiers naturels congrus à 1 modulo 3 ;
- nombres polygonaux d'ordre m : $1 ; 1+(m-1) ; 1+(m-1)+(2m-3) ; 1+(m-1)+(2m-3)+(3m-5) ; ... \,\!$ : le n-ième nombre polygonal d'ordre m est égal à la somme des n premiers entiers naturels congrus à 1 modulo m-2.

Ce théorème a été énoncé par Fermat, démontré dans le cas des nombres carrés par Jacobi et, indépendamment par Joseph-Louis Lagrange au (Ce dernier se servant de résultats partiels obtenus par Euler). Gauss résolut le cas des nombres triangulaires en 1796. Une preuve complète a été proposée par Cauchy en 1813.

Grand théorème de Fermat (ou dernier théorème de Fermat)

Il n'existe pas d'ensemble d'entiers strictement positifs $x\,\!$ , $y\,\!$ , $z\,\!$ vérifiant l'équation $x^n + y^n = z^n\,\!$ lorsque $n$ est un entier tel que $n > 2\,\!$ .

Ce théorème fut démontré par le mathématicien anglais Andrew Wiles de l'Université de Princeton, avec l'aide de Richard Taylor. Après une première présentation en juin 1993, puis la découverte d'une erreur et un an de travaux supplémentaires, la preuve fut finalement publiée en 1995 dans Annals of Mathematics.

Pierre de Fermat lui-même annotait en marge de son exemplaire des Arithmétiques qu’il en avait découvert une démonstration vraiment remarquable, mais manquait de place pour la donner à cet endroit:'j'ai découvert une preuve réellement remarquable que cette marge trop étroite ne me permet pas de détailler'.

La démonstration évoquée par Pierre de Fermat est soit fausse, soit inconnue à ce jour, car la démonstration réalisée par Andrew Wiles utilise des outils mathématiques dont M. de Fermat ne pouvait vraisemblablement disposer compte tenu des connaissances de son époque.

Méthode de la descente infinie

Fermat est par ailleurs l'inventeur d'une méthode de démonstration, la descente infinie. Elle consiste à démontrer que si une proposition P est vraie à un rang r, elle l'est à un rang q inférieur à r. Si on aboutit à une contradiction, on démontre alors que P est fausse. Cette méthode très astucieuse a été utilisée par Fermat pour démontrer son grand théorème dans le cas particulier n = 4.

Principe de Fermat (optique)

Le trajet parcouru par la lumière entre deux points est toujours celui qui minimise le temps de parcours. Voir l'article principe de Fermat

Références

Bibliographie

Émile Brassinne, Précis des œuvres mathématiques de P. Fermat, Toulouse, 1853.
Paul Féron, Pierre de Fermat : un génie européen (avec le concours de Jacques Arlet, Henri Gilles, Georges Passerat [et al.]), Toulouse : Presses de l'Université des sciences sociales de Toulouse et Éditions toulousaines de l'Ingénieur, 2002, 224 p.
Simon Singh, Le théorème de Fermat
André Dupuy, Pierre Fermat
Giorello G, Pierre Fermat, les génies de la science, août-septembre 2007

Lien externes

Œuvres de Fermat publiées par les soins de MM. Paul Tannery et Charles Henry sous les auspices du Ministère de l'instruction publique.
Exposition permanente à Beaumont de Lomagne