Propagation des erreurs

Une mesure est toujours entachée d'erreur. Lorsqu'une valeur mesurée est utilisée dans une formule, il faut savoir estimer l'erreur induite sur le résultat de la formule. On parle de propagation d'erreur.

Approches pragmatiques

Report des extrêmes dans le calcul

La première solution consiste à effectuer les calculs avec les extrêmes de l'intervalle d'erreur. Si la mesure a pour valeur

a ± Δa

alors la « valeur réelle » est supposée être dans l'intervalle [a-Δa;a+Δa]. On calcule donc ici

y₁ = ƒ(a-Δa)

y₂ = ƒ(a+Δa)

et, selon l'ordre de y₁ et de y₂, on prend [y₁;y₂] ou [y₂;y₁] comme intervalle d'erreur.

Cette méthode n'est valable que si la loi est monotone (c'est-à-dire croissante ou décroissante) sur l'intervalle [a-Δa;a+Δa].

Estimation à partir de la dérivée

Une manière simple, utilisée fréquemment en physique, consiste à utiliser un développement limité du premier ordre, c'est-à-dire à remplacer la loi ƒ par sa « tangente » pour estimer l'erreur. On estime ainsi l'erreur avec une loi uniforme (linéaire) et simple.

On a :

ƒ(x) = ƒ(a) + ƒ '(a)·(x-a) + o(x)

où o(x) est une fonction qui « tend vite » vers 0. Si l'on remplace x par a + Δa, on a alors

ƒ(a + Δa) = ƒ(a) + ƒ '(a)·Δa + o(a + Δa)

On peut donc estimer

Δy ≈ ƒ '(a) · Δa

Cette erreur est sous-estimée si l'on a une loi convexe.

Approche mathématique

Notations

• x une variable aléatoire,
• E(x) ou <x> l'espérance mathématique de x,
• V(x) la variance de x.
• $\backslash partial\_i\; y$ est la dérivée partielle de la fonction y par rapport à la i variable.

par exemple, si x est un vecteur (x₁, x₂,…, x_n), alors

$\backslash partial\_i\; y(\backslash underline\{x\})\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; y\}\{\backslash partial\; x\_i\}(\backslash underline\{x\})$

Formules

Une fonction de variables aléatoires

$y\; =\; y\; (\backslash underline\{x\})$

est elle-même une variable aléatoire. Si les erreurs sont petites, la variance du développement limité de y au premier ordre autour des valeurs moyennes μ des x est une bonne estimation de la variance de y :

$y(x)\; =\; y(\backslash mu)\; +\; \backslash sum\; \backslash left(x\_i\; -\; \backslash mu\_i\; \backslash right)\; \backslash partial\_i\; y$

On néglige les termes d'ordre supérieur dans l'expansion, il vient :

$V(y(x))\; =\; \backslash sum\_i\backslash sum\_j\; \backslash partial\_i\; y\; \backslash partial\_j\; y\; V\_\{ij\}(x)$

Si les x sont indépendantes

$V(y(x))\; =\; \backslash sum\_i\; \backslash left(\; \backslash partial\_i\; y\; \backslash right)^2\; V\_\{ii\}(x)$

Applications

Mesure d'une résistance

Une application pratique est la mesure expérimentale d'une résistance R à partir de la chute de tension U entre ses bornes et du courant I. La résistance est décrite par la loi d'Ohm.

$R\; =\; \backslash frac\{U\}\{I\}$

Nous avons

$\backslash langle\; R\; \backslash rangle\; =\; \backslash frac\{\backslash langle\; U\; \backslash rangle\}\{\backslash langle\; I\; \backslash rangle\}$

$\backslash partial\_U\; R\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash langle\; I\; \backslash rangle\}\; =\; \backslash frac\{\backslash langle\; R\; \backslash rangle\}\{\backslash langle\; U\; \backslash rangle\}$ et $\backslash partial\_I\; R\; =\; -\; \backslash frac\{\backslash langle\; U\; \backslash rangle\}\{\backslash langle\; I\; \backslash rangle^2\}\; =\; -\; \backslash frac\{\backslash langle\; R\; \backslash rangle\}\{\backslash langle\; I\; \backslash rangle\}$

Il vient

$\backslash frac\{V\_R\}\{\backslash langle\; R\; \backslash rangle^2\}\; =\; \backslash frac\{V\_U\}\{\backslash langle\; U\; \backslash rangle^2\}\; +\; \backslash frac\{V\_I\}\{\backslash langle\; I\; \backslash rangle^2\}$

Dans ce cas simple, l'erreur relative sur R correspond à la moyenne géométrique des erreurs relatives sur U et I.

Utilisation des différentielles totales exactes

Une loi physique s'exprime par une relation algébrique entre un cerain nombre de grandeurs mesurables :

• P : pression du gaz
• V : volume occupé par le gaz
• n : quantité de gaz en moles (1 mole = 6,022·10²³ molécules)
• R : constante des gaz parfaits = 8,314 J·K^-1·mol^-1
• T : température absolue du gaz, en kelvin

La pression en fonction de n, R, T et V s'exprime par

$P\; =\backslash frac\{n\; \backslash times\; R\; \backslash times\; T\}\{V\}$

écrivons sa différentielle :

$dP\; =\backslash frac\{n\; \backslash times\; R\}\{V\}\; dT\; +\; \backslash frac\{n\; \backslash times\; T\}\{V\}\; dR\; +\; \backslash frac\{\; R\; \backslash times\; T\}\{V\}dn\; -\; \backslash frac\{n\; \backslash times\; R\; \backslash times\; T\}\{V^2\}dV$

Si l'on « remplace » des variations élémentaires de variables dx par les erreurs sur les variables δx, on obtient :

$\backslash delta\; P\; =\backslash frac\{n\; \backslash times\; R\}\{V\}\backslash delta\; T\; +\; \backslash frac\{n\; \backslash times\; T\}\{V\}\backslash delta\; R\; +\backslash frac\{\; R\; \backslash times\; T\}\{V\}\backslash delta\; n\; +\; \backslash frac\{n\; \backslash times\; R\; \backslash times\; T\}\{V^2\}\backslash delta\; V$

qui donne l'erreur absolue sur P déduite du calcul de P à partir de la connaissance des erreurs sur T, R, n et V.

Autres exemples simples :

• le calcul de la surface d'un rectangle.

$S=L\; l$ et $S+dS=\; (L+dL)(l+dl)\; =\; L\; l\; +\; L\; dl\; +l\; dL\; +\; dl\; dL$

peut s'écrire

$dS\; =\; (\; (L+dL)(l+dl)\; -\; L\; l\; )=\; L\; dl\; +l\; dL\; +\; dL\; dl$

que l'on approxime par

$dS\; =\; L\; dl\; +l\; dL$

• le calcul d'un volume V = x·y·z

$V(x+dx,y+dy,z+dz)\; =\; (x+dx)(y+dy)(z+dz)\; =\; xyz\; +dx\; y\; z+x\; dy\; z\; +\; x\; y\; dz\; +\; x\; dy\; dz\; +\; y\; dx\; dz\; +\; z\; dx\; dy\; +\; dx\; dy\; dz$

peut s'écrire

$dV\; =\; yz\; dx\; +zx\; dy\; +\; xy\; dz\; +\; dx\; dy\; dz$

que l'on approxime par $dV\; =\; yz\; dx\; +zx\; dy\; +\; xy\; dz$

noter que

$dV\; =\; yz\; dx\; +zx\; dy\; +\; xy\; dz\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; (xyz)\; \}\{\backslash partial\; x\}dx+\backslash frac\{\backslash partial\; (xyz)\; \}\{\backslash partial\; y\}dy+\backslash frac\{\backslash partial\; (xyz)\; \}\{\backslash partial\; z\}dz$

rappel: $\backslash frac\{\backslash partial\; (xyz)\; \}\{\backslash partial\; x\}=\; yz\; ;\; \backslash frac\{\backslash partial\; (xyz)\; \}\{\backslash partial\; y\}=xz\; ;\; \backslash frac\{\backslash partial\; (xyz)\; \}\{\backslash partial\; z\}=xy$

• et plus généralement pour le calcul de la variation d'une fonction ƒ(x,y,z).

si $\backslash frac\{\backslash partial\; f(x,y,z)\; \}\{\backslash partial\; x\}$ est la dérivée partielle par rapport à x

$d\; f(x,y,z)\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; f(x,y,z)\; \}\{\backslash partial\; x\}dx+\backslash frac\{\backslash partial\; f(x,y,z)\; \}\{\backslash partial\; y\}dy+\backslash frac\{\backslash partial\; f(x,y,z)\}\{\backslash partial\; z\}dz$

Liens externes

• http://www.mrouaud.com/Incertitudes.html