Repérage dans le plan et dans l'espace

En géométrie analytique, tout point du plan ou de l'espace est « repéré »,c'est-à-dire qu'on lui associe un couple (dans le plan) ou un triplet (dans l'espace) de nombres .

Préliminaire : droite graduée

Pour graduer une droite, on prend sur cette droite un point O appelé origine et le représentant d'un vecteur $\backslash vec\{i\}$ passant par O qui définit l'unité: on parle du repère $(O,\; \backslash vec\{i\})$.

; Propriété et définition

Sur une droite graduée par le repère $(O,\; \backslash vec\; \{i\})$, à tout point A correspond un unique nombre x appelé abscisse de A.

On a

$\backslash overrightarrow\{OA\}\; =\; x\; \backslash cdot\; \backslash vec\{i\}$

et on note A(x).

Repérage dans le plan

Pour munir le plan d'un repère, on prend dans ce plan un point O appelé origine et les représentants de deux vecteurs $\backslash vec\{i\}$ et $\backslash vec\{j\}$ passant par O qui définissent les unités respectivement « horizontales » et « verticales » : on parle du repère $(O,\; \backslash vec\{i\},\; \backslash vec\{j\})\backslash ,$.

; Propriété et définition

Dans le plan muni du repère $(O,\; \backslash vec\{i\},\; \backslash vec\{j\})$,à tout point A correspond un unique couple (x,y) de nombres appelés coordonnées de A. On a

$\backslash vec\; \{OA\}\; =\; x\; \backslash cdot\; \backslash vec\{i\}\; +\; y\; \backslash cdot\; \backslash vec\{j\}$

et on note A(x,y).

; Vocabulaire

x est l' abscisse de A et y est son ordonnée.

La droite sur laquelle on lit les abscisses des points est appelée axe des abscisses et celle sur laquelle on lit les ordonnées des points est appelée axe des ordonnées.

Un repère dont les axes sont perpendiculaires est dit orthogonal . Un repère orthogonal tel que les longueurs (« normes ») de $\backslash vec\{i\}$ et de $\backslash vec\{j\}$ soient chacune égales à 1 est dit orthonormé, ou repère orthonormal.

Repérage dans l'espace

Pour munir l'espace d'un repère, on prend un point O appelé origine et les représentants de trois vecteurs $\backslash vec\{i\}$, $\backslash vec\{j\}$ et $\backslash vec\{k\}$ passant par O qui définissent les unités et les directions, respectivement « gauche-droite », « avant-arrière » et « verticale » : on parle du repère $(O,\; \backslash vec\{i\},\; \backslash vec\{j\},\; \backslash vec\{k\})$.

; Propriété et définition

Dans l'espace muni du repère $(O,\; \backslash vec\{i\},\; \backslash vec\{j\},\; \backslash vec\{k\})$, à tout point A correspond un unique triplet (x,y,z) de nombres appelés coordonnées de A. On a

$\backslash vec\; \{OA\}\; =\; x\; \backslash cdot\; \backslash vec\{i\}\; +\; y\; \backslash cdot\; \backslash vec\{j\}\; +\; z\; \backslash cdot\; \backslash vec\{k\}$

et on note A(x,y,z).

; Vocabulaire

x est l'abscisse de A, y est son ordonnée et z est sa cote.

La droite sur laquelle on lit les abscisses des points est appelée axe des abscisses, celle sur laquelle on lit les ordonnées des points est appelée axe des ordonnées et celle sur laquelle on lit les cotes est appelée axe des cotes.

Un repère dont les axes sont perpendiculaires est dit orthogonal . Un repère orthogonal dont les longueurs de $\backslash vec\{i\}$, de $\backslash vec\{j\}$ et de $\backslash vec\{k\}$ sont chacune égales à 1 est dit orthonormé, ou repère orthonormal.

Les repères $\backslash mathbb\{R\}$ et $\backslash mathbb\{C\}$

; Propriété

À tout point de la droite graduée par le repère $(O,\; \backslash vec\{i\})$ correspond un unique nombre réel.

La réciproque est vraie.

; Propriété

À tout point du plan muni du repère $(O,\; \backslash vec\{i\},\; \backslash vec\{j\})$ correspond un unique nombre complexe.

La réciproque est vraie .

Au point (0,1) correspond le nombre complexe i. Ce plan est appelé plan complexe ou 'plan d'Argand-Cauchy

Voir aussi

Articles connexes

• Système de coordonnées cartésiennes
• Représentation graphique
• Synthèse d'image 3D