Le symbole de Levi-Civita, noté ε (lettre grecque epsilon), est un indicateur antisymétrique d'ordre 3 qui peut être exprimé à partir du symbole de Kronecker :
-
Ainsi
ne peut prendre que trois valeurs : -1, 0 ou 1.
En 3 dimensions on peut figurer le symbole de Levi-Civita comme suit :
\begin{cases}
+1 & \mbox{si } (i,j,k) \mbox{ est } (1,2,3), (2,3,1) \mbox{ ou } (3,1,2), \\
-1 & \mbox{si } (i,j,k) \mbox{ est } (3,2,1), (1,3,2) \mbox{ ou } (2,1,3), \\
0 & \mbox{autrement: }i=j \mbox{ ou } j=k \mbox{ ou } k=i,
\end{cases}
La relation du symbole Levi-Civita au symbole de Kronecker:
\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn} = \delta_{il}\delta_{jm}\delta_{kn} + \delta_{im}\delta_{jn}\delta_{kl} + \delta_{in}\delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{il}\delta_{jn}\delta_{km} - \delta_{in}\delta_{jm}\delta_{kl} - \delta_{im}\delta_{jl}\delta_{kn}
\sum_{i=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}
\sum_{i,j=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijn} = 2\delta_{kn}
On peut démontrer que:
\sum_{i,j,k,\dots=1}^n \varepsilon_{ijk\dots}\varepsilon_{ijk\dots} = n!
est vrai en
n dimensions.
Voir aussi
