Théorème de flux-divergence

En analyse vectorielle, le théorème de flux-divergence, aussi appelé le théorème de Green-Ostrogradski est un théorème reliant la divergence d'un champ vectoriel à la valeur de l'intégrale de surface du flux défini par ce champ.

Il stipule que le flux d'un vecteur à travers une surface fermée est égal à l'intégrale de la divergence de ce vecteur sur le volume délimité par cette surface.

L'expression du théorème est le suivant :

$\backslash iiint\_\{\backslash mathcal\{V\}\}\; \backslash vec\{\backslash nabla\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\; F\; \backslash \; \{\backslash rm\; d\}V\; =\; \backslash iint\_\{\backslash Sigma\}\; \backslash vec\; F\; \backslash cdot\; \{\backslash rm\; d\}\; \backslash vec\; S$

où :

$\backslash mathcal\{V\}\backslash ,$ représente le volume, et $\backslash Sigma\backslash ,$ le bord de $\backslash mathcal\{V\}\backslash ,$, ce qu'on note mathématiquement $\backslash Sigma=\backslash part\backslash mathcal\{V\}\backslash ,$.

$\{\backslash rm\; d\}\; \backslash vec\; S$ est le vecteur normal à la surface , dirigé vers l'extérieur, et de longueur égale à l'élément qu'il représente .

$\backslash vec\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash vec\; F$ est aussi noté $\backslash mathrm\{div\}\backslash vec\; F$

On notera que ce théorème découle du théorème de Stokes, qui lui-même généralise le théorème fondamental du calcul différentiel et intégral.

C'est un résultat important en physique mathématique, en particulier en électrostatique et en dynamique des fluides.

On peut utiliser ce théorème pour déduire certaines formules utiles de calcul vectoriel :

$\backslash iiint\_\backslash mathcal\{V\}\; \backslash vec\{F\}\backslash cdot\; \backslash vec\{\backslash nabla\}\; g\; +\; g\; \backslash left(\backslash vec\{\backslash nabla\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{F\}\backslash right)\{\backslash rm\; d\}V=\backslash iint\_\{\backslash part\; \backslash mathcal\{V\}\}g\; \backslash vec\{F\}\backslash cdot\; \{\backslash rm\; d\}\backslash vec\{S\},$

$\backslash iiint\_\backslash mathcal\{V\}\; \backslash vec\{\backslash nabla\}\; g\; \backslash ,\; \{\backslash rm\; d\}V=\backslash iint\_\{\backslash part\; \backslash mathcal\{V\}\}\; g\; \{\backslash rm\; d\}\backslash vec\{S\},$

$\backslash iiint\_\backslash mathcal\{V\}\; \backslash vec\{G\}\backslash cdot\backslash left(\backslash vec\{\backslash nabla\}\; \backslash wedge\; \backslash vec\{F\}\backslash right)$

- \vec{F}\cdot \left( \vec{\nabla} \wedge \vec{G}\right) {\rm d}V = \iint_{\part \mathcal{V}}\left(\vec{F} \wedge \vec{G}\right)\cdot {\rm d}\vec{S},

$\backslash iiint\_\backslash mathcal\{V\}\; \backslash vec\{\backslash nabla\}\backslash wedge\; \backslash vec\{F\}\; \{\backslash rm\; d\}V\; =\; \backslash iint\_\{\backslash part\; \backslash mathcal\{V\}\}\{\backslash rm\; d\}\backslash vec\{S\}\; \backslash wedge\; \backslash vec\{F\}.$

Ce thèorème permet notamment de retrouver la version intégrale du théorème de Gauss à partir de l'équation de Maxwell-Gauss :

$\backslash mathrm\{div\}\backslash \; \backslash overrightarrow\{E\}\; \backslash \; =\; \backslash \; \backslash frac\{\backslash rho\}\{\backslash varepsilon\_0\}$

Voir aussi

• Intégrale de volume
• Intégrale de surface
• Théorème du rotationnel