Théorème spectral

En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, le théorème spectral permet la mise en évidence de la structure d'une application linéaire particulière dans un contexte géométrique. Il indique que si l'application linéaire respecte la structure géométrie euclidiennene ou hermitien de l'espace vectoriel, alors sa structure est particulièrement simple car il existe une base orthonormale de vecteurs propres et toutes les valeurs propres sont réelles. Il possède une interprétation équivalente et plus géométrique : toute quadrique possède des axes principaux orthogonaux, cette propriété n'est pas spécifique à la dimension trois, elle reste valable pour toutes dimensions finies et se généralise dans de nombreux cas de dimensions infinies.

Le théorème spectral constitue un cas particulier de la réduction d'endomorphisme et de résultats d'analyse fonctionnelle comme ceux sur la structure d'un opérateur autoadjoint compact.

Ce théorème est le fruit d'une longue histoire sur plus d'un siècle. Il parachève la mathématisation des expériences de Daniel Bernoulli (1700 - 1782) sur une corde vibrante et est finalement démontré par Karl Weierstrass (1815 - 1897) en 1858. Ce théorème est analysé, durant cette période, avec des approches très diverses provenant de l'analyse, la géométrie ou l'algèbre. Les questions motivant sa démonstration, sont tout aussi variées. Celle associée à la stabilité du système solaire est la principale. Elle est sujet à de nombreux articles, dont celui de Weierstrass de 1858.

Approche intuitive

Une approche intuitive consiste à considérer une deuxième distance euclidienne d' dans un espace euclidien munis d'une distance d. L'ensemble des points de l'espace à distance un du vecteur nul, pour la distance d forme une sphère représentée en rouge sur la figure. L'ensemble des points à distance un du vecteur nul pour la distance d' est un ellipsoïde, en bleu sur la figure. Le théorème spectral stipule que les axes de symétries de l'ellipsoïde sont tous orthogonaux entre eux.

Le carré des distances est une forme quadratique, le théorème spectral s'exprime à l'aide de ce concept. Si Φ est la forme quadratique associé à la distance euclidienne et Ψ celle associée à d' , le résultat précédent exprime qu'il existe base orthonormale qui est orthogonale pour Ψ. Si Ψ est une forme quadratique quelconque, alors l'ensemble des vecteur v tel que Ψ(v) est égal à un forme une quadrique, par exemple un hyperboloïde. Cette figure possède encore des axes de symétrie. Ils restent orthogonaux entre eux. Si les figures représentent des configurations de dimension trois, le théorème reste vrai pour toute dimension finie.

, c'est le cas, par exemple, de l'hyperboloïde à une nappe.]]

A l'époque de Weierstrass le concept d'espace vectoriel n'est pas utilisé, il est remplacé par Rⁿ ou R désigne l'ensemble des nombres réels. Le terme de fonction entière homogène du deuxième désigne un polynôme de degré deux dont les variables sont les différentes coordonnées de Rⁿ, c'est à dire, en langage contemporain une forme quadratique. Weierstrass, exprime ainsi le théorème :

« Soit deux fonctions homogènes du second degré Φ, Ψ de n variables x₁, x₂, …. , alors il est en général possible, de les représenter de cette même forme

Φ = θ₁ + θ₂ + … + θ_n

Ψ = s₁θ₁ + s₂θ₂+…+s_nθ_n,

θ₁, θ₂, …,θ_n étant des expressions quadratiques homogènes des x₁,…x_n et s₁,… , s_n des constantes.

Si, on note par s une grandeur arbitraire, le déterminant de sΦ-Ψ par f(s), alors les valeurs s_i sont des valeurs de s pour lesquelles f(s)=0. »Karl Weierstrass Uber ein die homogenen Functionen zweiten Grades betreffendes Theorem M’ber. Akad. der Wiss. Berlin 1858 traduction Frédéric Brechenmacher

Le résultat est encore valable pour les formes hermitiennes, c'est à dire dans un espace vectoriel complexe.

A chaque forme quadratique est associé un endomorphisme auto-adjoint. Le théorème possède donc une expression usant de ce formalisme. La connaissance profonde de la structure d'un endomorphisme est la clé de nombreux problèmes en mathématiques. Ces questions dépassent souvent le cadre de l'algèbre linéaire. Cette connaissance est obtenue par la réduction de l'endomorphisme, c'est à dire la connaissance des sous-espaces propres et caractéristiques, ainsi que le comportement de l'application sur ces sous-espaces. Le cas le plus simple est celui de l'endomorphisme diagonalisable, il existe alors une décomposition en une somme directe d'espaces propres et sur chacun de ces sous-espaces, l'endomorphisme se comporte comme une homothétie. Ce contexte est celui du théorème spectral.

Enoncés

Cette formulation du théorème possède un corollaire immédiat : la loi d'inertie de Sylvester stipulant que toute forme Ψ quadratique ou hermitienne possède une base orthogonale B tel que l'image de tout élément de B par Ψ est égale à 1 ou -1.

Il existe un autre formalisme, fondé sur un endomorphisme :

Sous cette forme, le théorème se généralise. Il n'est pas nécessaire que l'endomorphisme soit auto-adjoint, il suffit qu'il soit normal.

Tout théorème sur un endomorphisme possède son équivalent en terme de matrice car les deux structures sont isomorphes.

Les deux autres formes du théorème possèdent, de la même manière un équivalent matriciel.

{{boîte déroulante|align=left|titre=Démonstrations|contenu=

• Soit E un espace vectoriel hermitien, tout endomorphisme normal u est diagonalisable dans une base orthonormale.

Raisonnons par récurrence sur la dimension n de E.

Si n est égal à 1, alors l'application u est une homothétie et le résultat est démontré.

Supposons la propriété démontrée pour tout entier inférieur ou égal à p et supposons que n soit égal à p + 1. Le polynôme caractéristique de u est scindé car le corps des complexes est algébriquement clos. Soit λ une valeur propre et V l'espace propre associé à λ. Notons < . , . > le produit scalaire de E et F l'orthogonal de V. Montrons que V est stable par u^* l'adjoint de u :

$\backslash forall\; v\; \backslash in\; V\; \backslash quad\; u\backslash circ\; u^*\; (v)\; =\; u^*\; \backslash circ\; u\; (v)\; =\; \backslash lambda\; u^*\; (v)$

Les égalités précédentes montrent que u^*(v) est bien un élément de V. Cette propriété implique F est stable par u, c'est à dire que u(F) est bien orthogonal à V, en effet :

Sur V, u est diagonalisable dans une base orthonormale car la restriction de u à V est une homothétie. Sur F la restriction de u est aussi diagonalisable dans une base orthonormale par hypothèse de récurrence. E est somme directe orthogonale de V et F, ce qui termine la démonstration.

• Soit E un espace vectoriel hermitien ou euclidien, tout endomorphisme auto-adjoint u n'admet que des valeurs propres réel.

Si E est hermitien, soit λ une valeur propre (qui existe toujours car le corps est algébriquement clos) et v un vecteur propre associé à la valeur λ. Comme v n'est pas nul, son produit scalaire ne l'est pas non plus. Les égalités suivantes montrent que λ est réel :

Si E est euclidien, le polynôme caractéristique de v est aussi le polynôme caractéristique d'un endomorphisme auto-adjoint : celui de même matrice dans un espace hermitien, le polynôme est donc scindé dans R, l'ensemble des réels.

La proposition précédente permet de conclure que tout endomorphisme auto-ajdoint est diagonalisable dans une base orthonormée avec des valeurs propres uniquement réelles.

• Soit E un espace euclidien (resp. hermitien) et Φ, Ψ deux formes quadratiques (resp. hermitienne) de E tel que Φ soit définie positive. Alors il existe une base B de E orthonormale pour Φ et orthogonale pour Ψ. Dans cette base, les coefficients de la matrice associée à Ψ sont tous réels.

Notons < . , . > le produit scalaire associé à Φ et u l'endomorphisme auto-adjoint tel que si v est élément de E, alors Ψ(u) = < u(v) , v >. Un tel endomorphisme existe, et est unique. La base orthonormale qui diagonalise u est celle qui répond à la proposition.

L'isomorphisme entre l'espace des endomorphismes et celui des matrices démontrent les propriétés équivalentes pour les matrices. }}

Histoire

Origine mécanique

d'une matrice Plus d'un siècle avant la démonstration du théorème, apparaît ce qui, plus tard sera considéré comme une matrice symétrique. Jean le Rond d'Alembert (1717 - 1783) cherche à connaitre le mouvement d'une corde vibranteJean le Rond d'Alembert Traité de dynamique Paris 1743. Il modélise le phénomène par un élastique dont la masse est rassemblée en des points régulièrement espacés. Le problème mathématique correspond à une équation différentielle linéaire. Si les variations sont suffisamment petites, les coefficients associés sont constants. Leonhard Euler (1707 - 1783) propose une méthode dite des des coefficients indéterminées pour expliciter la solutionLeonhard Euler Recherches sur la connaissance mécanique des corps Mémoire de l’académie des sciences de Berlin 1758 ou Opera omnia Vol 2 pp 178 199 Zurich 1964. Contrairement aux prévisions de Daniel Bernoulli (1700 - 1782), une approche analytique permet de trouver une solution conforme à ses expériences : Je me contenterai de dire que l’on remarque aisément dans les valeurs de x & de y trouvées ci-dessus, la double oscillation que M. Bernouilli a observée dans le mouvement du pendule dont il s’agitJean le Rond d'Alembert Traité de dynamique 2de ed. Paris 1758 page 152. Néanmoins, les prétentions à la généralité de D'Alembert s'avèrent inexactes. Les coefficients indéterminées permettent uniquement de résoudre les cas où seules deux ou trois masses sont présentes.

Pour traiter le cas d'un nombre de masse plus importante, Joseph-Louis Lagrange (1736 - 1813) développe une nouvelle approche. Il utilise une pratique polynomiale spécifique s'affranchissant de la méthode des coefficients indéterminésJoseph-Louis Lagrange Solutions de différents problèmes de calcul intégral..., 1766 disponible dans Miscellanea Taurinensia Lagrange 1867-92 vol.1 pp 471-668. Grâce au fait que les coefficients sont en miroir, ce qui, en terme moderne se traduit par le fait que l'endomorphisme est auto-adjoint, il utilise une astucieuse méthode sur les primes et les indices. Le polynôme trouvé correspond à ce qui est maintenant nommé le polynôme caractéristique.

La méthode utilisée est relativement générique. Elle correspond à une approximation linéaire tangente, à ce titre elle fait partie d'une vaste théorie dite des perturbations. Elle suppose aussi que l'endomorphisme associé est symétrique. Enfin, elle ne fonctionne que si les racines du polynôme caractéristique maintenant appelé valeurs propres sont toutes distinctes, enfin le cas des racines imaginaires fait peur. Les savants de l'époque en ont bien conscience : d’où l’on voit que le système est susceptible d’autant de différents mouvements isochrones que l’équation P=0 a de racines réelles négatives et inégales.

Développement astronomique

Une autre situation entre dans le domaine de validité de la méthode : celle de la trajectoire des planètes. En plus de l'attraction solaire, les planètes s'attirent entre elles. Cette attraction est très petite devant celle du soleil, comme une planète A attire une planète B exactement comme la planète B attire la planète A, l'endomorphisme est symétrique. Ce phénomène engendre des perturbations rapidement divisées en deux. Lagrange les décrit de la manière suivante :

« Ces variations sont de deux espèces : les unes périodiques et qui ne dépendent que de la configuration des Planètes entre elles ; celles-ci sont les plus sensibles, et le calcul en a déjà été donné par différents Auteurs ; les autres séculaires et qui paraissent aller toujours en augmentant, ce sont les plus difficiles à déterminer tant par les observations que par la Théorie. Les premières ne dérangent point l’orbite primitive de la Planète ; ce ne sont, pour ainsi dire, que des écarts passagers qu’elle fait dans sa course régulière, et il suffit d’appliquer ces variations au lieu de la Planète calculé par les Tables ordinaires du mouvement elliptique. Il n’en est pas de même des variations séculaires. Ces dernières altèrent les éléments mêmes de l’orbite, c'est-à-dire la position et la dimension de l’ellipse décrite par la planète ; et quoique leur effet soit insensible dans un court espace de temps, il peut néanmoins devenir à la longue très considérable. »Joseph-Louis Lagrange Théorie des variations séculaires des éléments des planètes Nouv. mém. de l’acad. des sciences de Berlin Vol 1 p 125 1783

Les variations séculaires fascinent, la stabilité du système solaire est menacée :

« ... il peut néanmoins arriver qu’il y en ait d’égales ou d’imaginaires ; mais il est facile de résoudre ces cas par les méthodes connues : nous observerons seulement que, dans le cas des racines égales, les valeurs de s, s₁, s₂,…, u, u₁, u₂,… contiendront des arcs de cercle, et que dans celui des racines imaginaires ces valeurs contiendront des exponentielles ordinaires ; de sorte que, dans l’un et l’autre cas, les quantités dont il s’agit croîtront à mesure que t croît ; par conséquent la solution précédente cessera d’être exacte au bout d’un certain temps ; mais heureusement ces cas ne paraissent pas avoir lieu dans le Système du monde. »Joseph-Louis Lagrange Recherches sur les équations séculaires des mouvements des noeuds, et des inclinaisons des orbites des planètes Hist. de l’acad. des sciences 1778

Cette question fait couler beaucoup d'encre durant les deux siècles suivants. La réponse que propose Lagrange est celle du calcul des valeurs propres. Il suppose qu'une planète n'est en interactions qu'avec quatre autres et développe une méthode de substitution sur les polynômes pour en extraire les racinesJoseph-Louis Lagrange Réflexions sur la résolution algébrique des équations Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Berlin 1770, il en déduit :

« Cependant il ne parait pas impossible de parvenir, par quelque artifice particulier, à décider cette question d’une manière générale ; et comme c’est un objet également intéressant pour l’analyse et pour l’Astronomie physique, je me propose de m’en occuper. En attendant, je me contenterai de remarquer que, dans le cas présent, les racines trouvées sont trop différentes entre elles pour qu’un petit changement dans les masses adoptées puisse les rendre égales, et encore moins imaginaires »

L'idéal de Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827), ne se contente pas de cette réponse. Elle n'offre pas de garantie suffisamment solide de la stabilité du système solaire, que se passe-t-il avec la prise en compte de plus de planètes. Il démontre que la disposition en miroir ainsi que la nature de leur valeur impose une convergencePierre-Simon Laplace Mémoire sur les variations séculaires des orbites des planètes Mem. de l’acad. des sciences de Paris Oeuvres 11 pp 295-306 publié en 1795 soumis en 1789.

Géométrie analytique

Quand, dans les années 1820, Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) s'attelle à cette question il n'est pas un novice en algèbre. Son traitéCauchy Mémoire sur les fonctions qui ne peuvent obtenir que deux valeurs égales et des signes contraires par suite des transpositions opérées entre les variables qu'elles renferment adressé en 1812 et publié dans le Journal de l'Ecole Poytechnique, XVIIe Cahier, Tome X, Paris 1815 lire sur Gallica sur les déterminants fait autorité. Son approche, si elle reste analytique, diffère radicalement de celle de Lagrange, qu'il décrit ainsi :

« Les méthodes que j'y expose ne demandent ni constructions ni raisonnements géométriques ou mécaniques, mais seulement des opérations algébriques assujétties à une marche régulière et uniforme. »Joseph-Louis Lagrange Méchanique analytique Paris. 2de ed. Paris 1811

La démarche de Cauchy est avant tout géométrique. Il axe son analyse sur l'étude sur d'hypersurfaces particulières, celles correspondant aux quadriques dans un espace euclidien de dimension quelconque. Ces quadriques sont définies de manière analytique par une forme quadratique, s'exprimant à l'époque par un polynôme homogène du deuxième degré. Il remarque que, dans le cas de la dimension trois, il existe trois plans, définis par le choix de deux vecteurs pris parmi trois, qui divisent la quadrique en deux parties symétriques. Ces trois vecteurs sont orthogonaux et peuvent être choisis de longueur un. Pour trouver ces vecteurs, Cauchy analyse les extrema de la surface à l'aide des dérivées partielles. Cette démarche, en terme moderne correspond à l'endomorphisme associé à la forme quadratique. Il montre que ces axes correspondent aux vecteurs propres dont les valeurs propres sont données par un polynôme obtenu par un calcul de déterminant et maintenant dénommé polynôme caractéristiqueAugustin Louis Cauchy Sur les centres, les plans principaux et les axes principaux des surfaces du second degré Exer. de math.3 = Œuvres (2)8, pp 8 35 1828.

Cette approche est générique à de nombreuses situations. Si, dans un premier temps, elle permet de classifier les surfaces du second degré dans un espace de dimension quelconque, elle s'applique aussi à l'analyse des axes d'inertie d'un solide en rotationAugustin Louis Cauchy Mémoire sur l’équation qui a pour racines les moments d’inertie principaux d’un corps solide et sur diverses équations du même genre Mémoires de l'Académie des sciences, t. IX, p. 111; présenté en 1826 et publié en 1830. Enfin, elle offre un nouveau regard sur le problème des variations séculaires. Les coefficients de l'équation différentielle définissent une quadrique, exprimer l'équation différentielle dans la base orthonormale privilégiée de la quadrique revient, en terme moderne à diagonaliser l'endomorphisme et donc à séparer les variables, ce qui permet l'intégrationAugustin Louis Cauchy Sur l’équation à l’aide de laquelle on détermine les inégalités séculaires du mouvement des planètes Exer. de math. 4 = Œuvres (2)9, pp 174 195 1829. Cauchy présente un mémoireAugustin Louis Cauchy L’équation qui a pour racines les moments d’inertie principaux d’un corps solide, et sur diverses équations du même genre Mem. Acad. des Sci. Paris 1830 proposant cette approche unificatrice.

Cette méthode possède néanmoins une faiblesse, toujours la même. Si le polynôme caractéristique possède une racine multiple, alors les vecteurs propres ne sont plus déterminés de manière unique. Dans le cas des axes d'inerties un artifice particulier, associé à l'aspect tridimensionnel du solide permet de résoudre la question. Dans le cas général, les équations de Cauchy ne sont plus à même de les trouver :

« D’après ce qui a été dit ci-dessus, il ne peut rester de doutes sur l’exactitude du théorème I, si ce n’est dans le cas où quelques valeurs de s vérifieraient à la fois les deux équations (36) S = 0, R = 0, Q = 0, … prises consécutivement. »

La révolution de 1830, ainsi que la position politique de Cauchy lui impose l'exil et l'arrêt de ses travaux. Une décennie plus tard, il revient sur ces questions pour mieux comprendre la propagation des ondes lumineuses ou d'origine élastique. Ces travaux donnent lieu à la création de l'expression polynôme caractéristique, ou plus précisément dans les textes de Cauchy d' équation caractéristique.Augustin Louis Cauchy Méthode générale propre à fournir les équations de condition relatives aux limites des corps dans les problèmes de physique mathématique Comptes rendus Acad. Sci. 8 Paris pp 79-81 1940 lu en 1939^etAugustin Louis Cauchy Mémoire sur l’intégration des équations linéaires Comptes rendus Acad. Sci. 30 Paris pp 202-211 1940 lu en 1939

Arithmétique et algèbre

introduit en Allemagne une approche purement algébrique pour l'étude des formes quadratiques Le problème des variations séculaire peut aussi être mis en relation avec un vieux problème d'arithmétique soulevé par Pierre de Fermat (1601 - 1665) maintenant appelé théorème des deux carrés. La question posée est celle des nombres premiers s'exprimant sous la forme de deux carrés d'entiers. D'une manière plus générale cette question est reliée aux valeurs que peut prendre la forme quadratique x² + y² si x et y prennent des valeurs entières. Un regard encore plus général est celui des valeurs que peut prendre une forme quadratique quelconque sur les entiers, qui débouche sur le théorème des trois ou des quatre carrés.

Un élément de réponse pour cette question correspond à la classification des formes quadratiques, en classes d'équivalences. Deux formes quadratiques Φ et Ψ sur un Z module M sont dites équivalentes s'il existe un endomorphisme bijectif f de M tel que Φ soit égal à la composée de Ψ et de f. Autrement dit si les formes quadratiques représentent le même objet dans deux bases différentes. Les formes ont la même image, il suffit donc de connaitre l'image d'une unique forme dans chaque classe pour résoudre une large famille d'équations diophantiennes. Cette classification arithmétique des formes quadratiques est initiée par Adrien-Marie LegendreAdrien-Marie Legendre Théorie des nombres, Paris Duprat 1798 (1752 - 1833) en 1798 et rapidement poursuivi par Carl Friedrich GaussCarl Friedrich Gauss Disquisitiones arithmeticae 1801 (1777 - 1855) en 1801. Cette démarche, éminemment linéaire, est à l'origine par Gauss de la première utilisation du terme déterminant.

La connaissance des formes quadratiques ne manquent pas d'avoir des applications. Un nouvel exemple est rapidement fourni, encore par l'astronomie. Les données associées à la trajectoire d'un corps céleste sont à la fois nombreuses et toutes entachées de petites erreurs. Utiliser la méthode des moindres carrés pour estimer précisément la trajectoire est fructueux et permet à Gauss de retrouver l'astéroïde Cérès (les détails sont données dans l'article sur la méthode des moindres carrés). Cette méthode consiste à trouver le minimum d'une forme quadratique, soit encore le vecteur propre de la plus petite valeur propre associée. Legendre est le premier à publier ce résultat, cependant Gauss ne lui reconnait pas la paternité de cette découverte. La réaction de Legendre est brutale : Cette impudence excessive est incroyable chez un homme au mérite personnel suffisant pour ne pas avoir besoin de s'approprier les découvertes d'autrui.S M Stigler Une Attaque de Gauss publié par Legendre en 1820 Historia Math. Vol 4 pp 31-35 1977

Dans le cas d'un espace vectoriel réel de dimension finie, la réduction d'une forme quadratique est réalisée par Charles Gustave Jacob Jacobi (1804 - 1851). Il montre qu'elles sont toutes équivalentes à une combinaison linéaire de carrés dont le coefficient est égal soit à 1 soit à -1Charles Gustave Jacob Jacobi Sur la réduction des formes quadratiques au plus petit nombre de termes Comptes rendus de l'Académie des sciences de Berlin 1848. Ce résultat est redécouvert par James Joseph Sylvester (1814 - 1897) et appliqué au principe de l'inertie des solides. Il porte maintenant son nomJames Joseph Sylvester Théorie sur les invariants algébriques 1852. La distance entre le théorème de l'article et le savoir de l'époque devient ténue. Le résultat de Jacobi exprime que toute forme quadratique possède une base orthogonale. Il suffit d'en adjoindre une autre, définie positive pour conclure, ce que fait Weierstrass en 1858. Les techniques utilisées, comparables à celles des démonstrations données dans cet article, sont infiniment plus simples que celles de Cauchy.

Cette approche algébrique, dont l'Allemagne est probablement le plus riche contributeur avec Gauss, Jacobi, Ferdinand Eisenstein (1823 - 1852) ou Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 - 1859) est la solution, non seulement d'un problème d'algèbre, mais aussi des questions que se posent les français depuis longtemps. L'auteur en a parfaitement conscience :

« [Le problème] a été complètement résolu par Cauchy, Jacobi etc. pour le cas où l’on ne trouve aucune grandeur égale parmi s₁, s₂, ..., s_n. Il n'est pas encore résolu en revanche dans les circonstances exceptionnelles où les racines de l’équation f(s)= 0 ne sont pas différentes l’une de l’autre, la difficulté qui se présente alors aurait déjà du être éclaircie et je propose de l'examiner attentivement plus en détail. Je ne pensais pas initialement qu'une solution serait possible sans des discussions spécifiques aux nombreux cas différents qui peuvent se produire. Il me fallait espérer que la résolution du problème soit susceptible d’une méthode indifférente à la multiplicité des grandeurs ₁, s₁, ..., s_n. »Karl Weierstrass Uber ein die homogenen Functionen zweiten Grades betreffendes Theorem M’ber. Akad. der Wiss. Berlin 1858 traduction Frédéric Brechenmacher

Le théorème de Weierstrass éclaire la question des variations séculaires sous un autre angle, l'auteur du théorème conclut :

« Après avoir indiqué et énoncé la forme des intégrales, Lagrange a conclu que, comme les oscillations x₁, dx₁/dt restent toujours petites si elles le sont à l'origine, l’équation ne peut pas avoir de racines égales car les intégrales pourraient devenir arbitrairement grandes avec le temps. La même affirmation se trouve répétée chez Laplace lorsqu’il traite dans la Mécanique céleste des variations séculaires des planètes. Beaucoup d’autres auteurs, comme, par exemple, Poisson, mentionnent cette même conclusion. Mais cette conclusion n'est pas fondée […] et, si la fonction Ψ reste négative et de déterminant non nul, on peut énoncer le même résultat, que les racines de l’équation f(s)=0 soient ou non toutes distinctes ; l'homogénéité de cette conclusion n'a pu être découverte dans la passé car on a toujours envisagé ce cas [des racines multiples] par des approches particulières. »Karl Weierstrass Uber ein die homogenen Functionen zweiten Grades betreffendes Theorem M’ber. Akad. der Wiss. Berlin 1858 traduction Frédéric Brechenmacher

La question de la stabilité du système solaire reste néanmoins ouverte, l'astronome Urbain Le Verrier (1811 - 1877) montre que les termes d'ordre deux ne peuvent être négligés. Il faut attendre le siècle suivant et le talent de Henri Poincaré (1854 - 1912) pour conclure positivement.La conséquence des perturbations d'ordre deux est étudiée par Le Verrier en 1856, voir par exemple Jacques Laskar La stabilité du système solaire Seuil pp 184-187 1992 Lire

Usages

Généralisations

Réciproque

Si un endomorphisme est diagonalisable dans une base orthonormée et que les valeurs propres sont toutes réelles, alors il est clairement auto-adjoint.

En revanche, un endomorphisme est parfois diagonalisable sans être normal. Il suffit, par exemple de considérer un endomorphisme dont les racines du polynôme caractéristique sont toutes distinctes et dont les vecteurs propres ne forment pas une base orthogonale.

Généralisation en dimension finie

Il est possible d'étudier la possible diagonalisation d'un endomorphisme sans produit scalaire. Une condition nécessaire et suffisante est donnée par le polynôme minimal. Un endomorphisme sur un espace vectoriel de dimension finie est diagonalisable si et seulement si le polynôme minimal est scindé et ne contient aucune racine multiple.

Le cas général est traité par Jordan (1838-1922) si le polynôme minimal est scindéMarie Ennemond Camille Jordan Traité des substitutions et des équations algébriques 1870. L'endomorphisme n'est pas toujours diagonalisable, en revanche une forme canonique existe dans le cas général, permettant ainsi une réduction de l'endomorphisme.

La dimension infinie

La tentation de généraliser le théorème à la dimension infinie est grande. L'exemple historique de la théorie est celui d'une corde vibrante, une modélisation exacte suppose une infinité de masses et impose donc un espace de dimension infinie. D'autres équations aux dérivées partielles se modélisent par un passage à la dimension infinie. Celle de la propagation de la chaleur est un exemple.

Notes et références

Articles connexes

• Réduction d'endomorphisme, diagonalisation, trigonalisation ;
• Décomposition en valeurs singulières ;

Notes

Liens externes

• Abstract linear spaces Par l'Université de St Andrew
• L'identité algébrique d'une pratique portée par la discussion sur l'équation à l'aide de laquelle on détermine les inégalités séculaires des planètes par Frédéric Brechenmacher comporte une grande partie de l'analyse sous-jacente à la partie historique, il est aussi l'auteur des traductions des différentes citations de Weierstrass.

Références

• N. et J. Dhombres Naissance d’un pouvoir : sciences et savants en France 1793 - 1824 Payot 1989