Théorie cinétique des gaz

Description

Un gaz est un ensemble de molécules mono- ou poly-atomiques subissant un certain nombre d’interactions : on aura notamment des interactions électromagnétiques (comme les forces de van der Waals) et des chocs entre les particules mais aussi contre les parois du récipient contenant le gaz. Dans le cadre de la théorie cinétique, on fait les approximations suivantes :

le volume des molécules est négligeable
seuls les chocs ont une influence, les autres interactions sont négligeables.

La trajectoire des molécules peut se modéliser avec le mouvement brownien. ;Approche intuitive du mouvement des molécules: Supposons que dans un récipient, toutes les molécules ont la même vitesse et la même direction. Ce système est instable parce que la moindre modification de trajectoire d'une seule molécule provoquera le heurt sur une autre molécule qui déviera et heurtera encore une autre avec un effet en chaîne qui établira le chaos donc le mouvement brownien.

;Dans la suite,

P, désignera la pression du gaz,
V, son volume,
T, sa température thermodynamique, et
n, le nombre de molécules.

Vitesse et pression

Statistiques sur les vitesses

Considérons une molécule ayant une vitesse de norme Dans notre cas une vitesse de grandeur et de direction définie v et frappant une surface. Elle subit un choc élastique, c'est-à-dire qu'elle repart en faisant un même angle avec la surface, avec une vitesse de même norme v C’est-à-dire avec la même vitesse. Si l'on choisit un repère orthonormé C’est-à-dire, dans notre cas, un trièdre rectangle e₁, e₂, e₃, avec e₁ perpendiculaire à la surface, alors cette vitesse se décompose selon les trois axes

\mathbf{v} = v_1 \mathbf{e}_1 + v_2 \mathbf{e}_2 + v_3 \mathbf{e}_3

On appelle c(v) d³v le nombre de molécules par unité de volume (la concentration) dont la vitesse est comprise dans un volume infinitésimal d³v autour de la valeur v. La concentration globale est donc :

C = \iiint c(\mathbf{v})\, d^3\mathbf{v} = \frac{n}{V}

La répartition statistique des vitesses étant isotrope, la moyenne des composantes de la vitesse est évidemment nulle :

\langle v_1\rangle = \langle v_2\rangle = \langle v_3\rangle = 0

La vitesse isotrope prend la même valeur dans toutes les directions et toutes les directions sont également probables

Les moyennes quadratiques ne sont par contre pas nulles, une vitesse dans une direction et la même dans la direction opposée ont le même carréet elles sont égales entre elles par symétrie de rotation. Comme on a toujours

v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 = v^2

(théorème de Pythagore), on a en moyenne

\langle v_1^2\rangle  = \langle v_2^2\rangle  = \langle v_3^2\rangle  = \frac{1}{3}\langle v^2\rangle

avec

\langle v_i^2\rangle = \frac{1}{C} \iiint c(\mathbf{v}) \, v_i^2 \, d^3\mathbf{v}

\langle v^2\rangle = \frac{1}{C} \iiint c(\mathbf{v}) \, v^2 \, d^3\mathbf{v}

Impact d'une molécule

Lorsqu'une molécule rebondit de manière élastique sur la surface, la composante perpendiculaire à la surface de sa quantité de mouvement varie de À l'arrivée, elle a une quantité de mouvement de mv au retour sa quantité de mouvement est -mv. La différence est donc 2mv

2\,m\,v_1

m étant la masse de la molécule. D'après les lois de Newton (principe fondamental de la dynamique et théorème des actions réciproques), l'intégrale en temps de la force qu'elle imprime sur la surface est donc

\int f_1 dt = 2 \,m \, v_1 .

Impact de toutes les molécules

On cherche maintenant, v étant fixé à d³v près, à savoir combien de molécules frappent une petite surface d'aire S durant une durée τ.

Les molécules frappant la surface entre l'instant 0 et l'instant τ sont nécessairement dans un cylindre de base S et de hauteur v₁τ — les autres molécules sont trop loin ou frappent à côté. Ce cylindre d'axe v a un volume de S v₁ τ. La force d³F créée par toutes les molécules considérées est donc :

\int_0^\tau d^3F\, dt = 2  \,m \, v_1 \  S \, v_1 \, \tau \  c(\mathbf{v}) \, d^3\mathbf{v} .

La force F créée par toutes les molécules s'obtient en intégrant sur v₁ > 0 si l'on oriente e₁ du gaz vers l'extérieur (on ne considère que les molécules allant vers la surface, pas celles s'en éloignant). Ceci revient à diviser par deux, en raison de la symétrie de la distribution c(v) :

\int_0^\tau F dt = 2 \, m \,S \iiint_{v1>0}  v_1^2 \, \tau\,c(\mathbf{v}) \, d^3\mathbf{v} =  m \, \tau\,S \iiint v_1^2 \, c(\mathbf{v}) \, d^3\mathbf{v}

En négligeant les fluctuations dans le temps de F, on peut intégrer sur t et simplifier par τ :

F =  m \, S  \iiint v_1^2 \, c(\mathbf{v})\, d^3\mathbf{v} = m\, S\, C \langle v_1^2\rangle

F =  \frac{1}{3} m\, S\, C \,\langle v^2\rangle

La pression étant la force divisée par la surface, on obtient {{Bloc emphase|texte=

p = \frac{1}{3} m \, C \langle v^2\rangle

}}

ou encore, par définition de C = n / V : {{Bloc emphase|texte= $p \, V = \frac{1}{3} m \, n \,\langle v^2\rangle$ }}

Pression et énergie cinétique

Si une molécule de masse m se déplace à une vitesse v, son énergie cinétique vaut $\frac{1}{2} m \, v^2$ et l'énergie cinétique totale des molécules du gaz vaut

E_c = n \times \frac{1}{2} m \, \langle v^2\rangle = \frac{3}{2} p\,V

Gaz parfait monoatomique

Dans le cas d'un gaz parfait monoatomique, on suppose que la totalité de l'énergie est sous forme d'énergie cinétique des molécules (énergie thermique), donc l'énergie interne U du système vaut :

U = E_c

On a donc

U = \frac{3}{2} p\,V

Gaz parfait de Laplace

Dans le cas plus général du gaz parfait de Laplace, on suppose que les molécules ont une énergie interne de rotation ou d'oscillation, proportionnelle à $E_c$ . Le nombre de degrés de liberté passe de 3 à $\nu$ et dans l'hypothèse d'équipartition, on a $U = \frac{\nu}{3} E_c$ , et donc {{Bloc emphase|texte= $U = \frac{\nu}{2} p\,V$ }}

En modifiant adiabatiquement le volume du gaz, on fournit un travail $-pdV$ égal à la variation d'énergie interne $dU = \frac{\nu}{2} \left(V dp+ p dV\right)$ . Donc on a $0 = \frac{\nu}{2} Vdp + \frac{2+\nu}{2} pdV$ ou $0 = \frac{dp}{p} + \frac{2+\nu}{\nu} \frac{dV}{V} = d\left(p V^{\frac{2+\nu}{\nu}} \right)$ . Traditionnellement, pour retrouver la loi de Laplace du gaz parfait en régime adiabatique $P V^\gamma = \mathrm{Cte}$ , on introduit {{Bloc emphase|texte= $\gamma = \frac{2+\nu}{\nu}$ }}

Pour le gaz parfait de Laplace, on a donc {{Bloc emphase|texte= $U = \frac{1}{\gamma - 1} P\,V$ }}

Pour un gaz réel monoatomique, ou même l'hydrogène à très basse température $\nu = 3$ et $\gamma = \frac{5}{3}$
Pour un gaz réel diatomique à température intermédiaire (azote, hydrogène, ozygène autour de 300 K), on a deux degrés de rotation possible $\nu \approx 5$ et $\gamma \approx \frac{7}{5}$
Pour un gaz réel diatomique à très haute température, l'oscillation longitudinale devient possible, et $\nu$ tend vers 7 et $\gamma$ tend vers $\frac{9}{7}$

Notes et références

Bibliographie

Ludwig Boltzmann ; Leçons sur la théorie des gaz, Gauthier-Villars (1902-1905). Réédition Jacques Gabay (1987), ISBN 2-87647-004-7.
Carlo Cercignani ; Ludwig Boltzmann - The man who Trusted Atoms, Oxford University Press (1998) 330 pp. ISBN 0-19-850154-4. Biographie scientifique du grand professeur Boltzmann, qui a porté la théorie cinétique des gaz à son acmée. Par un professeur de Physique Mathématique de l'Université de Milan (Italie), spécialiste de l'équation de Boltzmann. Niveau plutôt second cycle universitaire.