Transformée de Fourier

En analyse, la transformation de Fourier est un analogue de la théorie des séries de Fourier pour les fonctions non périodiques, et permet de leur associer un spectre en fréquences. On cherche ensuite à obtenir l'expression de la fonction comme « somme infinie » des fonctions trigonométriques de toutes fréquences qui forment son spectre. Une telle sommation se présentera donc sous forme d'intégrale. L'analyse non standard permet de la présenter sous forme d'une série et justifie le point de vue intuitif. Séries et transformation de Fourier constituent les deux outils de base de l'analyse harmonique.

La transformée de Fourier $\backslash mathcal\{F\}$ est une opération qui transforme une fonction intégrable en une autre fonction, décrivant le spectre en fréquences de f. Si f est une fonction intégrable, sa transformée de Fourier est la fonction F(f) et donnée par la formule

$F(f):s\backslash mapsto\; \backslash hat\{f\}(s)\; =\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}\; f(x)\backslash ,\; e^\{-i\; sx\}\backslash ,\; dx$

L'ensemble de départ est l'ensemble des fonctions intégrables f d'une variable réelle x. L'ensemble d'arrivée est l'ensemble des fonctions F(f) d'une variable réelle s. Concrètement lorsque cette transformation est utilisée en traitement du signal, on dit que x est la variable temps, que f est dans le domaine temporel, que s est la fréquence et que F est dans le domaine fréquentiel.

La formule dite de transformation de Fourier inverse, opération notée TF ^-1, est celle qui permet (sous conditions) de retrouver f à partir du spectre :

$f(x)\; =\; \{1\; \backslash over\; 2\backslash pi\}\backslash ,\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}\; F(w)\backslash ,\; e^\{iwx\}\backslash ,\; dw$

En physique, la transformation de Fourier permet de déterminer le spectre d'un signal. Les phénomènes de diffraction donnent une image de l'espace dual du réseau, ils sont une sorte de « machine à transformation de Fourier » naturelle.

Le cadre le plus naturel pour définir les transformées de Fourier est celui des fonctions intégrables. Toutefois, de nombreuses opérations (dérivations, transformée de Fourier inverse) ne peuvent être écrites en toute généralité. On doit à Plancherel l'introduction de la transformation de Fourier pour les fonctions de carré sommable, pour lesquelles la formule d'inversion est vraie. Puis la théorie des distributions de Schwartz permit de trouver un cadre parfaitement adapté.

Transformation de Fourier pour les fonctions intégrables

Si f est une fonction intégrable sur $\backslash mathbb\{R\}$, sa transformée de Fourier est donnée par la formule

$F(s)\; =\; \backslash hat\{f\}(s)\; =\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}\; f(x)\backslash ,\; e^\{-i\; s\; x\}\backslash ,\; dx$

Mais on peut aussi utiliser cette formule

$F(s)\; =\; \{1\; \backslash over\; 2\backslash pi\}\backslash ,\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}\; f(x)\backslash ,\; e^\{-isx\}\backslash ,\; dx$

F est aussi parfois notée $\backslash mathcal\{F\}\backslash \{f\backslash \}$ ou TF(ƒ).

La transformée de Fourier se généralise à de nombreux groupes, on peut citer les groupes abéliens localement compacts (cf Dualité de Pontryagin) ou plus simplement les groupes abéliens finis (cf analyse harmonique sur un groupe abélien fini). La base utilisée n'est plus celles des fonctions exponentielles imaginaires mais les éléments du groupe dual.

Propriétés

• cette transformation est linéaire
• la transformée de Fourier de f est une fonction continue, de limite nulle à l'infini (théorème de Riemann-Lebesgue), notamment bornée par

$\backslash |\backslash hat\{f\}\backslash |\_\backslash infty\backslash leq\; \backslash |f\backslash |\_1$

• par changement de variable on trouve des formules intéressantes lorsqu'on effectue une translation, dilatation du graphe de f
• la transformée de Fourier d'une gaussienne est une gaussienne.
• on peut tenter d'appliquer un théorème de dérivation sous intégrale : si la fonction g(x)=-ixf(x) est elle aussi intégrable, alors la dérivée de $\backslash hat\{f\}$ est la transformée de Fourier de g.
• si f est dérivable, de limite nulle à l'infini, et si la dérivée de f est intégrable, alors $\backslash hat\{f\text{'}\}(s)=is\; \backslash hat\{f\}(s)$ est la transformée de Fourier de la dérivée de f .

On peut résumer les deux dernières propriétés : sous conditions d'existence, la transformation de Fourier échange dérivation et multiplication par (plus ou moins) ix. C'est justement pour s'affranchir de ces conditions d'existence désagréables qu'il sera nécessaire d'élargir la classe des fonctions sur lesquelles opère la transformation de Fourier.

Inversion de Fourier

Si la transformée de Fourier de f est elle-même une fonction intégrable et selon la transformée de Fourier que l'on utilise, la formule d'inversion est:

$f(x)\; =\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}\; F(s)\backslash ,\; e^\{isx\}\backslash ,\; ds$

ou bien

$f(x)\; =\; \{1\; \backslash over\; 2\backslash pi\}\backslash ,\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}\; F(s)\backslash ,\; e^\{isx\}\backslash ,\; ds$

Cette opération de transformation de Fourier inverse a des propriétés analogues à la transformation directe, puisque seuls changent le coefficient multiplicatif et le -i devenu i. {{boîte déroulante|titre=Preuve par l'analyse non standard|contenu= Soit f est une fonction de classe $C^\{\backslash infty\}$ à support compact. Par le principe de transfert, on peut se contenter d'étudier le cas d'une fonction standard. Dans ce cas, il existe un réel infiniment grand $T$ tel que pour tout réel $|x|>T$, $f(x)=0$. Introduisons une base orthonormée totale de l'espace de Hilbert $L^2([-T,T])$ donnée par :

$e\_n:x\backslash mapsto\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\; T\}\}e^\{in\backslash pi\; x/T\}$

Par le lemme de Parseval, on est en mesure d'écrire :

$f=\backslash sum\_\{\backslash mathbf\; Z\}c\_ne\_n$ où $c\_n=\backslash int\_\{-T\}^Tf(x)\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\; T\}\}e^\{-in\backslash pi\; x/T\}dx=\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\; T\}\}\backslash widehat\{f\}\backslash left(\backslash frac\{n\backslash pi\}\{T\}\backslash right)$

Plus explicitement :

$f(x)=\backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\}\backslash sum\_\{\backslash mathbf\{Z\}\}\backslash widehat\{f\}\backslash left(\backslash frac\{n\backslash pi\}\{T\}\backslash right)e^\{-in\backslash pi/T\}\backslash frac\{\backslash pi\}\{T\}=\backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\}\backslash int\_\{-T\}^T\backslash widehat\{f\}\backslash left(w\backslash right)e^\{iwx\}$

La dernière égalité vient de ce que la somme de Riemann s'effectue sur une partition de longueur infiniment petite ($\backslash pi/T$). L'égalité recherchée est donc vraie pour toutes les fonctions standards de classe $C^\{\backslash infty\}$ à support compact. Par le principe de transfert, elle est aussi vérifiée pour toutes les fonctions $C^\{\backslash infty\}$ à support compact et de suite par densité pour toutes les fonctions intégrables dont la transformée est intégrable. }}

Extension à l'espace $\backslash mathbb\{R\}^n$

Si f est une fonction intégrable sur $\backslash mathbb\{R\}^n$, sa transformée de Fourier est donnée par la formule

$F(s)\; =\; \backslash hat\{f\}(s)\; =\; \backslash int\; f(x)\backslash ,\; e^\{-i\; s\backslash cdot\; x\}\backslash ,\; dx$

L'intégrale est prise sur l'espace entier et le point désigne le produit scalaire entre s et x.

Si la transformée de Fourier de f est elle-même une fonction intégrable :

$f(x)\; =\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}\; F(w)\backslash ,\; e^\{iwx\}\backslash ,\; dw$

Transformation de Fourier pour les fonctions de carré sommable

Le théorème de Plancherel permet d'étendre la transformation de Fourier aux fonctions de carré sommable. On se place donc sur l'espace de fonctions $L^2(\backslash mathbb\{R\})$, muni de sa norme canonique. Pour des raisons qui apparaîtront claires, on modifie légèrement la convention sur la transformée de Fourier dans cette section.

Soit f une fonction de carré sommable sur $\backslash mathbb\{R\}$ et soit A>0. On peut définir la transformée de Fourier de la fonction tronquée à [-A, A] :

$\backslash hat\{f\}\_A(s)=\backslash frac1\{\backslash sqrt\{2\backslash pi\}\}\backslash int\_\{-A\}^A\; f(x)\backslash ,\; e^\{-i\; sx\}\backslash ,\; dx$

Alors lorsque A tend vers l'infini, les fonctions $\backslash hat\{f\}\_A$ convergent en moyenne quadratique vers une fonction qu'on note $\backslash hat\{f\}$ et que l'on appelle transformée de Fourier (ou de Fourier-Plancherel) de f.

En outre la formule d'inversion de Fourier est vérifiée : la fonction $\backslash hat\{f\}$ est elle-même de carré sommable et

$f\; =\; \backslash underset\{A\; \backslash mapsto\; +\backslash infty\}\{\backslash lim\backslash limits\_\{\backslash |\backslash ;\backslash |\_2\}\}\; \backslash left[\; \backslash frac1\{\backslash sqrt\{2\backslash pi\}\}\backslash ,\; \backslash int\_\{-A\}^\{A\}\; \backslash hat\{f\}(w)\backslash ,\; e^\{iwx\}\backslash ,\; dw\backslash right]$

Ainsi la transformation de Fourier-Plancherel définit un automorphisme de l'espace L², qui est une isométrie $\backslash |f\backslash |\_2\; =\; \backslash |\backslash hat\{f\}\backslash |\_2$ En physique, on interprète le terme $|\backslash hat\{f\}(w)|^2$ figurant sous l'intégrale comme une densité spectrale de puissance.

La définition de la transformation de Fourier-Plancherel est compatible avec la définition habituelle de la transformée de Fourier des fonctions intégrables. En effet, On peut montrer que l'application $\backslash mathcal\; F\; :\; L\_2\; \backslash mapsto\; L\_2$ prolonge l'application qui a une fonction $f$, intégrable, associe sa transformée de Fourier. On se place alors sur l'espace $L\_1\; \backslash cap\; L\_2\; \backslash ,$ sur lequel la transformée de Fourier est bien définie et qui est dense dans $L\_2\backslash ,$. Comme $L\_2\backslash ,$ est un espace de Banach, on a l'unicité de $\backslash mathcal\; F$.

Lien avec le produit de convolution

Les transformées de Fourier ont des propriétés très intéressantes liées au produit de convolution.

Ainsi :

• $\backslash widehat\{(f*g)\}(t)=\backslash widehat\; f(t)\backslash cdot\; \backslash widehat\; g(t)$
• Si $f,g\; \backslash in\; L\_1(\backslash mathbb\; R),\; f*g\; \backslash in\; L\_1(\backslash mathbb\; R)$ et $\backslash |f*g\backslash |\_\{L\_1\}\; \backslash le\; \backslash |f\backslash |\_\{L\_1\}\; \backslash cdot\; \backslash |g\backslash |\_\{L\_1\}$
• Si $f\; \backslash in\; L\_1(\backslash mathbb\; R),g\; \backslash in\; L\_2(\backslash mathbb\; R),\; f*g\; \backslash in\; L\_2(\backslash mathbb\; R)$ et $\backslash |f*g\backslash |\_\{L\_2\}\; \backslash le\; \backslash |f\backslash |\_\{L\_1\}\; \backslash cdot\; \backslash |g\backslash |\_\{L\_2\}$

Transformation de Fourier pour les distributions tempérées

Liens avec d'autres transformations

Lien entre transformation de Fourier et transformation de Laplace

Si l'on note $\backslash mathcal\{L\}$ la transformée de Laplace, alors

$\backslash mathcal\{F\}\backslash \{f\backslash \}(s)\; =\; \backslash mathcal\{L\}\backslash \{f^+\backslash \}(2i\backslash pi\; s)\; +\; \backslash mathcal\{L\}\backslash \{f^-\backslash \}(-2i\backslash pi\; s)$

où les fonctions $f^+(t)$ et $f^-(t)$ sont définies par :

$f^+(t)\; =\; f(t)$ si t ≥ 0 et 0 sinon.

$f^-(t)\; =\; f(-t)$ si t ≥ 0 et 0 sinon.

Parallèles avec les séries de Fourier

Parallèle formel

La transformée de Fourier est définie de façon semblable : la variable d'intégration t est remplacée par nΔt, n étant l'indice de sommation, et l'intégrale par la somme.

$X(f)=\backslash Delta\; t\; \backslash sum\_\{n=-\backslash infty\}^\backslash infty\; x(n)e^\{-i2\backslash pi\; fn\backslash Delta\; t\}$ ↔ $x(t)=\backslash int\_\{f\_e\}\; X(f)e^\{i2\backslash pi\; ft\}df$

On trouvera quelques remarques à ce sujet dans Analyse spectrale.

Transformée

On utilise les variables normalisées suivantes :

$F=\{f\; \backslash over\; f\_e\}=f\; \backslash Delta\; t\; =\; f|\_\{\backslash Delta\; t=1\}$, $\backslash Omega\; =e\backslash pi\; F=2\backslash pi\; f\backslash Delta\; t=\backslash omega\backslash delta\; t|\_\{\backslash Delta\; t=1\}$

Transformation de Fourier (analyse)	Transformation inverse (synthèse)
$X(f)=\backslash Delta\; t\; \backslash sum\_\{n=-\backslash infty\}^\backslash infty\; x(n)e^\{-i2\backslash pi\; fn\backslash Delta\; t\}$	$x(n)=\backslash int\_\{f\_e\}\; X(f)e^\{i2\backslash pi\; fn\backslash Delta\; t\}df$
$X(w)=\backslash Delta\; t\; \backslash sum\_\{n=-\backslash infty\}^\backslash infty\; x(n)e^\{-i\backslash omega\; n\backslash Delta\; t\}$	$x(n)=\{1\; \backslash over\; 2\backslash pi\}\; \backslash int\_\{\backslash omega\_2=2\backslash pi\; f\_e\}X(w)e^\{iwn\backslash Delta\; t\}dw$
$X(F)=\backslash sum\_\{n=-\backslash infty\}^\backslash infty\; x(n)e^\{-i2\backslash pi\; nF\}$	$x(n)=\backslash int\_1\; X(f)e^\{i2\backslash pi\; nF\}dF\backslash ,\backslash !$
$X(\backslash Omega)=\backslash sum\_\{n=-\backslash infty\}^\backslash infty\; x(n)e^\{-in\backslash Omega\}$	$x(n)=\{1\; \backslash over\; 2\backslash pi\}\backslash int\_\{2\backslash pi\}\; X(\backslash Omega)e^\{in\backslash Omega\}d\backslash Omega$

Références

• Jean-Michel Bony, Cours d'analyse, Editions de l'École Polytechnique
• Srishti D. Chatterji Cours d'analyse, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes 1998

Voir aussi

• Densité spectrale de puissance
• Produit de convolution
• Transformation de Fourier rapide
• Transformation de Fourier discrète
• Transformation de Laplace

Lien externe

• Cours de licence traitant l'Analyse de Fourier (et aussi les espaces de Hilbert)