Mandelbrotmengden

Mandelbrotmengden er en fraktal, oppkalt etter den franskeenen matematiker Benoît Mandelbrot.

Definisjon

La c være et komplekst tall. Definer en følge av komplekse tall z₀, z₁, z₂, ... ved

$z\_0\; =\; 0,$

$z\_\{n+1\}\; =\; z\_n^2+c.$

Mandelbrotmengden $\backslash mathbb\; M$, består av alle komplekse tall c slik at denne tallfølgen er begrenset, det vil si at den ikke divergerer mot uendelig. Figuren til høyre viser mandelbrotmengden tegnet i det komplekse planet.

Egenskaper

Mandelbrotmengden har mange interessant egenskaper. Hvis man zoomer inn langs randen av mandelbrotmengden, vil man kunne finne små kopier, kalt satellitter, av mandelbrotmengden selv. Hvis man tar et hvilket som helst utsnitt av det komplekset planet som både inneholder punkter i $\backslash mathbb\; M$ og punkter utenfor $\backslash mathbb\; M$, vil det innholde uendelig mange satellitter.

Bildegalleri

Denne bildesekvensen er en zoomreise til et bestemt punkt c i det komplekse planet. Hvert bilde er et utsnitt av det foregående. Det siste bildet er en forstørrelse av det første på omtrent 60 milliarder. De svarte punktene er selve mandelbrotmengden. De fargelagte punktene er punkter utenfor mandelbrotmengden, og fargen er bestemt ut fra hvor raskt følgen definert ovenfor divergerer.

Bilde:Mandel zoom 00 mandelbrot set.jpg|Start Bilde:Mandel zoom 01 head and shoulder.jpg|Utsnitt 1 Bilde:Mandel zoom 02 seehorse valley.jpg|Utsnitt 2 Bilde:Mandel zoom 03 seehorse.jpg|Utsnitt 3 Bilde:Mandel zoom 04 seehorse tail.jpg|Utsnitt 4 Bilde:Mandel zoom 05 tail part.jpg|Utsnitt 5 Bilde:Mandel zoom 06 double hook.jpg|Utsnitt 6 Bilde:Mandel zoom 07 satellite.jpg|Utsnitt 7 Bilde:Mandel zoom 08 satellite antenna.jpg|Utsnitt 8 Bilde:Mandel zoom 09 satellite head and shoulder.jpg|Utsnitt 9 Bilde:Mandel zoom 10 satellite seehorse valley.jpg|Utsnitt 10 Bilde:Mandel zoom 11 satellite double spiral.jpg|Utsnitt 11 Bilde:Mandel zoom 12 satellite spirally wheel with julia islands.jpg|Utsnitt 12 Bilde:Mandel zoom 13 satellite seehorse tail with julia island.jpg|Utsnitt 13 Bilde:Mandel zoom 14 satellite julia island.jpg|Utsnitt 14