Analysens fundamentalsats

Enligt Analysens fundamentalsats (analysens huvudsats eller integralkalkylens huvudsats) är de två centrala operationerna inom analysen, derivering och integrering, varandras inverser. Detta innebär att om en kontinuerlig funktion först integreras och sedan deriveras, så fås den ursprungliga funktionen tillbaka. En viktig konsekvens av denna sats är att integraler kan beräknas med hjälp av en primitiv funktion till den funktion som skall integreras.

Satsen kan formuleras som

Antag att en funktion f är kontinuerlig i intervallet $[a,b]$ och definiera

$F(x)=\backslash int\_a^x\; f(t)\backslash ,dt,\backslash quad\; a\backslash le\; x\backslash le\; b.$

Då gäller:

1. Funktionen F är deriverbar och F' = f, dvs F är en primitiv funktion till f. (I ändpunkterna x = a och x = b gäller denna slutsats höger- resp. vänsterderivatan av F.)
2. Om G är en primitiv funktion till f, dvs G' = f, så gäller att

$\backslash int\_\{a\}^\{b\}\; f(x)\backslash ,dx=G(b)-G(a).$

Det är inte nödvändigt att kräva att funktionen $f$ är kontinuerlig; det räcker om den är Lebesgue-integrerbar på intervallet. Den första slutsatsen F' = f ändras då till att gälla nästan överallt.

Bevis

Satsen kan bevisas enligt följande:

I första steget utnyttjas derivatans definition och i det andra definitionen av $F$. I det tredje steget används räknelagar för integraler. I fjärde steget används medelvärdessatsen för integraler. I femte steget utnytjas det faktum att $c$ ligger mellan $x$ och $x+h$, så då $h\backslash rightarrow\; 0$ gäller att $c\backslash rightarrow\; x$. Sista steget ges av att $f$ är kontinuerlig.

Se även

• Matematisk analys
• Stokes sats