Aritmetikens fundamentalsats

Aritmetikens fundamentalsats är ett teorem inom talteori som säger att varje positivt heltal kan skrivas som en produkt av primtal på precis ett sätt.

Med 'på precis ett sätt' menas att det finns endast en uppsättning primtal som multiplicerade med varandra ger det givna heltalet, men faktorernas ordningsföljd i produkten bortser man ifrån eftersom ordningsföljden inte påverkar resultatet. Att satsen gäller är inget som man kan se direkt på ett uppenbart sätt. Exempelvis är talet 16709 en produkt av primtalen 7, 7, 11 och 31. Man skulle mycket väl kunna tro att det finns en annan uppsättning primtal som multiplicerade med varandra gav 16709, om man inte kände till satsen.

Bevis för existensen av en primtalsfaktorisering

Vi ska, genom reductio ad absurdum, visa att varje heltal större än ett kan skrivas som en produkt av primtal.

Antag att det finns ett sådant tal som inte kan skrivas som en produkt av primtal och kalla det minsta för n. Försök att dividera n med alla talen från 2 till n-1. Om det inte går att dividera n med något av dem utan att få en rest, så är n per definition ett primtal, och därför en produkt av ett primtal. Om det däremot finns ett k som delar n, så är n=km där både k och m är heltal som kan skrivas som en produkt av primtal eftersom de är mindre än n. Men då är också n en produkt av primtal vilket motsäger vårt antagande att det finns ett heltal större än ett som inte kan skrivas som en produkt av primtal. Alltså kan varje heltal större än ett skrivas som en produkt av primtal.

Bevis för primtalsfaktoriseringens entydighet

Vi skall visa att varje positivt heltal kan framställas som en produkt av primtal på endast ett sätt.

Vi bortser från ordningen i den meningen att, exempelvis $2\backslash cdot\; 3\; \backslash cdot\; 2$ och $2\; \backslash cdot\; 2\; \backslash cdot\; 3$ samt $3\; \backslash cdot\; 2\; \backslash cdot\; 2$ anses vara en och samma produkt.

Antag att det finns positiva heltal som kan framställas som en produkt av primtal på mer än ett sätt.

Låt n vara ett sådant positivt heltal och studera två framställningar av heltalet n som en produkt av primtal:

$p\_1\backslash ,p\_2\; \backslash ,\; \backslash cdots\; \backslash ,\; p\_s\; \backslash ,=\; \backslash ,n\; \backslash ,=\; \backslash ,\; q\_1\; \backslash ,\; q\_2\; \backslash ,\; \backslash cdots\; \backslash ,\; q\_t.$

Vissa av p-primtalen kanske är identiska med q-primtalen; därför dividerar vi bort alla sådana primtal, vilket innebär att:

$p\_\{i\_1\}\; \backslash ,\; p\_\{i\_2\}\; \backslash ,\; \backslash cdots\; \backslash ,\; p\_\{i\_u\}\; =\; q\_\{j\_1\}\; \backslash ,\; q\_\{j\_2\}\; \backslash ,\; \backslash cdots\; \backslash ,\; q\_\{j\_v\},$

där p-primtalen och q-primtalen alla är olika. Om vi tillämpar nedanstående hjälpsats på primtalet $p\_\{i\_1\}$ och produkten $q\_\{j\_1\}\; \backslash ,\; q\_\{j\_2\}\; \backslash ,\; \backslash cdots\; \backslash ,\; q\_\{j\_v\},$ så kan vi hävda att primtalet $p\_\{i\_1\}$ delar något av primtalen $q\_\{i\_k\}$. Men detta är omöjligt, varför vi tvingas inse att:

Det var fel att anta att det fanns positiva heltal som kunde framställas som en produkt av primtal på mer än ett sätt.

Hjälpsats

Om $p$ är ett primtal som delar en produkt av heltal, $a\_1\; \backslash ,\; a\_2\; \backslash ,\; \backslash cdots\; \backslash ,\; a\_n$, så delar primtalet minst en av faktorerna $a\_1,\; \backslash ,\; a\_2,\; \backslash ,\; \backslash dots,\; a\_n.$

Se även

• Algebrans fundamentalsats
• Aritmetik
• Matematik
• Talteori
• Algebraisk talteori
• Entydig faktorisering