Bas (matematik)

Bas har flera betydelser även inom matematik.

Positionssystem

Inom ett positionssystem är basen det heltal B som definierar storleken på siffersekvensen $a\_na\_\{n-1\}...a\_0$. På varje position kan varje individuell siffra anta värdena 0, 1, ..., B - 1. För decimala talsystemet betyder sekvensen $a\_na\_\{n-1\}...a\_0$ ett tal med storleken

$a\_na\_\{n-1\}...a\_0\; =\; a\_n\backslash cdot\; 10^n\; +\; a\_\{n-1\}\backslash cdot\; 10^\{n-1\}+...+a\_0\backslash cdot\; 10^0.$

För det binära talsystemet har sekvensen $a\_na\_\{n-1\}...a\_0$ storleken

$a\_na\_\{n-1\}...a\_0\; =\; a\_n\backslash cdot\; 2^n\; +\; a\_\{n-1\}\backslash cdot\; 2^\{n-1\}+...+a\_0\backslash cdot\; 2^0.$

Linjär algebra

En mängd $\backslash \{\; v\_i\; \backslash \}\; \_\{i=0\}\; ^\{n-1\}$ säges vara en bas för ett linjärt rum $V$ om den är linjärt oberoende och spänner upp $V$, dvs varje element i $V$ kan uttryckas som en linjärkombination av element ur basen.

Funktionsutveckling

För funktionsutveckling är basen $B\_r(x)$ den funktion, exempelvis ett polynom eller en trigonometrisk funktion, sådan att en annan funktion $f(x)$ kan expanderas i basen $B\_r(x)$ med hjälp av bestämda konstanter $\backslash alpha\_r$:

$f(x)\; =\; \backslash sum\_\{r\; =\; 0\}^\{\backslash infty\}B\_r(x)\backslash alpha\_r$.

I detta fall bildar funktionerna $B\_r(x)$ en bas som definierad ovan (i 'linjär algebra') i ett lämpligt valt inre produktrum, till exempel klassen av kontinuerliga funktioner med skalärprodukten $\backslash langle\; f,\; g\backslash rangle\; =\; \backslash int\; \_\{-1\}\; ^1\; f(t)g(t)\; dt$, och konstanterna bestäms av projektionen $f(x)$ på basen.

Topologi

En mängd $M$ av öppna mängder i ett topologiskt rum $T$ säges vara en bas om varje öppen mängd i $T$ kan skrivas som en union av element ur $M$. Exempelvis bildar mängden $M\; =\; \backslash \{\; N\_\backslash varepsilon\; (\backslash bar\{x\})\; :\; \backslash varepsilon\; \backslash geq\; 0,\; \backslash bar\{x\}\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}^2\backslash \}$ en bas för $\backslash mathbb\{R\}^2$. Här betyder $N\_\backslash varepsilon\; (\backslash bar\{x\})\; =\; \backslash \{\; \backslash bar\{y\}\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}^2\; :\; |\backslash bar\{x\}\; -\; \backslash bar\{y\}|\; \backslash leq\; \backslash varepsilon\; \backslash \}$, där $|\backslash cdot\; |$ är den euklidiska normen.

Övrigt

• I en potens kallas ena talet bas, vilket hänger intimt samman med logaritmbas (se nedan) och positionssystem (se ovan).
• Basen kan även vara det tal som bestämmer logaritmen
• Basen kan även vara den sida i ett parallellogram eller triangelen som är vinkelrät mot höjd.
• Basen kan även vara den sida i en likbent triangel som inte nödvändigtvis har samma längd som de övriga.
• För vektorer, se basvektor.