Cirkel

En cirkel är en perfekt rund kurva. Formellt definieras cirkeln som den mängd av punkter i planet som ligger på ett bestämt avstånd, cirkelns radie, från en bestämd punkt, cirkelns mittpunktet. Radien är alltså avstånd från mittpunkten till vilken punkt som helst på cirkeln.

I dagligt tal och i delar av skolmatematiken används begreppet cirkel också för att benämna det område som cirkeln omsluter. Detta område benämns i vedertagen matematisk terminologi som en cirkelskiva.

I tre dimensioner är sfären en naturlig analogi till cirkeln. Även i högre dimensioner används ordet sfär för en mängd av punkter på konstant avstånd till en given punkt.

Begrepp

• Längden pÃ¥ den kurva som en cirkel utgör kallas för cirkelns omkrets. En sträcka som gÃ¥r mellan tvÃ¥ punkter pÃ¥ cirkeln via mittpunkten kallas för en diameter i cirkeln. Även längden pÃ¥ en sÃ¥dan sträcka kallas diameter. En linje som gÃ¥r frÃ¥n en punkt till en annan pÃ¥ cirkeln kallas korda.
• En punkt som ligger i det omrÃ¥de som en cirkel omsluter, men inte pÃ¥ cirkeln, sägs ligga i det inre av cirkeln. En punkt pÃ¥ själva cirkeln sägs ibland vara en punkt pÃ¥ periferin.
• En cirkel som gÃ¥r genom samtliga hörn pÃ¥ en given triangel sägs vara en omskriven cirkel. En cirkel som tangerar samtliga sidor pÃ¥ en triangel sägs vara en inskriven cirkel.
• En vinkel mellan tvÃ¥ kordor AB,BC sägs vara en periferivinkel. En vinkel mellan tvÃ¥ radier AM, MB sägs vara en mittpunktsvinkel.
• En sammanhängande del av cirkeln kallas för en cirkelbÃ¥ge.

Cirkelns ekvation

I ett koordinatsystem kan en cirkel med mittpunkt i $(x\_0,\; y\_0)$ och radie r beskrivas som mängden av punkter som uppfyller följande ekvation:

$(x-x\_0)^2+(y-y\_0)^2=r^2$.

Ekvationen inses genom att nyttja Pythgoras sats för att beräkna avståndet från punkten $(x\_0,y\_0)$ till punkten $(x,y)$.

Cirkeln som en slät kurva

Cirkeln kan beskrivas som en slät, parametriserad kurva på flera sätt. Till exempel ges en cirkeln med mittpunkt i origo och radie r av parametriseringen:

x= rsin t

y= rcos t

För r=1 fÃ¥r man enhetscirkeln, dvs cirkeln med radie 1 och mittpunkt i origo. Med hjälp av en sÃ¥dan analytisk beskrivning av cirkeln kan man visa att kvoten mellan en cirkels omkrets och dess radie är en konstant, alltsÃ¥ oberoende av vilken cirkel man väljer. Talet π definieras som halva denna kvot. Man kan ocksÃ¥ visa analytiskt att det omrÃ¥de som cirkeln omsluter är $\backslash pi\; r^2$. Detta kallas ofta nÃ¥got oegentligt för cirkelns area.

Cirkeln i Euklidisk geometri

Cirkeln är ett primitivt objekt i den euklidiska geometrin, och introduceras i axiomet som säger att givet en sträcka, så finns en cirkel med mittpunkt i en av sträckans ändpunkter och med sträckan som radie. Cirklar används bland annat för att konstruera räta vinklar, och för att dela sträckor i två delar. Vidare finns ett antal satser i euklidisk geometri om cirklars egenskaper:

• Om A, B och C är punkter pÃ¥ en cirkel och AC är en diameter, sÃ¥ är vinkeln ABC rät.
• För varje triangel finns en och endast en omskriven cirkel.
• För varje triangel finns en och endast en inskriven cirkel.
• Om A,B,C,D är punkter pÃ¥ en cirkel och M skärningspunkten mellan kordorna AB och CD, sÃ¥ gäller att |AM||MB|=|CM||MD|

Se även

• cirkelresonemang
• cirkelargumentation
• cirkeldefinition