Derivata

Derivatan av en funktion anger dess förändringshastighet. Derivata och integral är grundläggande begrepp inom matematisk analys och de kopplas samman genom Analysens fundamentalsats. Den enklaste formen av derivata är derivatan av en reellvärd funktion av en reell oberoende variabel, där derivatan är den hastighet med vilken funktionsvärdet ändras i den punkt som svarar mot den oberoende variabelns värde. Då förändringshastigheten hos en funktion inte måste vara konstant med avseende på den oberoende variabeln, är även derivatan en funktion av denna.

För en reellvärd funktion f av en variabel betecknas derivatan vanligen f ′, varför derivatan i punkten x följaktligen betecknas f ′(x) (uttalas 'f-prim av x'.). Derivatan kan ocksÃ¥ betecknas df/dx (uttalas 'd-f, d-x').

Exempel

Exempel 1:

Antag att p(h) betyder lufttrycket (i pascaln) vid höjden h (i meter) över havsnivÃ¥. DÃ¥ kommer derivatan p′(h) att ange hur mycket trycket ökar per meter i höjdled. Derivatan fÃ¥r alltsÃ¥ den fysikaliska enheten pascal per meter. Eftersom trycket i själva verket avtar med höjden, kommer alltsÃ¥ derivatan att bli negativ.

Exempel 2:

Antag att s(t) anger en bils position s som funktionen av tid t. DÃ¥ kommer derivatan s′(t) att ange bilens hastighet som funktion av tiden; derivatans derivata, den sÃ¥ kallade andraderivatan, s′′(t) (eller d²s/dt²) kommer vidare att ange bilens acceleration.

Exempel 3:

LÃ¥t f vara en konstant funktion definierad av f(x) = c. DÃ¥ blir derivatan f ′(x) = 0 för alla x, eftersom funktionens värde inte ändras alls när x ändras.

Definition

Derivatan av funktionen f i punkten x₀ definieras som gränsvärdet

$f\text{'}(x\_0)=\; \backslash lim\_\{h\; \backslash to\; 0\}\; \backslash frac\{f(x\_0+h)\; -\; f(x\_0)\}\{h\}$,

Om gränsvärdet existerar i en viss punkt sägs funktionen vara deriverbar i punkten. Om funktionen är deriverbar i varje punkt i definitionsmängden sägs funktionen vara deriverbar. Om funktionen endast är deriverbar i vissa intervall, måste intervallen anges som villkor för deriverbarheten.

Det finns även en omskrivning av gränsvärdet, vilken kan vara användbar vid bevisföring:

$f\text{'}(x\_0)=\; \backslash lim\_\{x\; \backslash to\; x\_0\}\; \backslash frac\{f(x)\; -\; f(x\_0)\}\{x-x\_0\}$

Exempel

Beräkna derivatan till funktionen $f$ definierad av $f(x)\; =\; x^2$. Enligt definitionen av derivata erhålls

$f\text{'}(x)\; =\; \backslash lim\_\{h\; \backslash to\; 0\}\; \backslash frac\{f(x+h)\; -\; f(x)\}\{h\}\; =\; \backslash lim\_\{h\; \backslash to\; 0\}\; \backslash frac\{(x+h)^2\; -\; x^2\}\{h\}\; =$

$\backslash lim\_\{h\; \backslash to\; 0\}\; \backslash frac\{2\; x\; h\; +\; h^2\}\{h\}\; =\; \backslash lim\_\{h\; \backslash to\; 0\}\; (2\; x\; +\; h)\; =\; 2\; x$.

Detta innebär att för varje punkt $x$ i definitionsmängden till $f$ är derivatan – lutningen hos tangenten till grafen i punkten $(x,\; f(x))$ – lika med $2\; x$. Exempelvis är i punkten $x=2$ derivatan $f\text{'}(x)\; =\; 4$.

Geometrisk tolkning

Om en funktion f åskådliggörs av en graf y = f(x) så anger derivatan av f grafens lutning (förändring i y per förändring i x) för varje värde x. Derivatan i en punkt är således lika med riktningskoefficienten för kurvans tangentensens i den valda punkten (x, f(x)). Tangentens lutning kan approximeras med sekant lutning i ett litet område kring punkten x. Om sekanten går genom punkterna (x, f(x)) och (x+h, f(x+h)), där h är ett litet tal, blir dess lutning (och funktionens medellutning) i detta intervall lika med

$k\; =\; \backslash frac\{f(x+h)\; -\; f(x)\}\{h\}$.

Approximationen blir bättre ju mindre h väljs; om avstÃ¥ndet h mellan punkternas x-värden gÃ¥r mot noll, sÃ¥ kommer sekanten att övergÃ¥ till tangenten vid x och lutningen kommer att gÃ¥ mot derivatan f ′(x); härav derivatans definition.

Det finns ett teorem som säger att om en funktion är deriverbar i en punkt, så är den även kontinuerlig i denna punkt. Det motsatta förhållandet behöver inte gälla, vilket visas av bl.a. Weierstrass exempel.

Högre ordningars derivator

Om man beräknar derivatan av en funktions derivata erhåller man en andra ordningens derivata', även kallad andraderivata. Beräknar man derivatan av denna får man tredjederivatan och så vidare. Om risk för förväxling föreligger kallas derivatan av ursprungsfunktionen förstaderivata.

Notation

Som tidigare nämnts finns ett flertal olika notationer för derivata. Med undantag av Newtonss notation innebär dessa vanligen ingen skillnad i natur. Olika områden inom matematiken har dock vanligen en notation som vanligen används.

Lagranges notation

Den enklaste varianten som används är Joseph Louis Lagranges, nämligen primtecknet:

$f\text{'}(x)\backslash ,$ för förstaderivata

$f\text{'}\text{'}(x)\backslash ,$ för andraderivata

$f\text{'}\text{'}\text{'}(x)\backslash ,$ för tredjederivata

$f^\{(n)\}(x)\backslash ,$ för högre ordningens derivata, eller derivator av okänd ordning (som i exempelvis Taylorutvecklingar).

Leibniz notation

Den andra typen av notation har fått sitt namn efter Gottfried Leibniz. Även om den kan tyckas något otymplig är den lämplig att använda bland annat när man jobbar med kedjeregelner och vid lösning av differentialekvation, på grund av dess tydliggörande av differentialerna.

För derivatan av en funktion $y=f(x)\backslash$ skriver man

$\backslash frac\{dy\}\; \{dx\}$ (eller $\backslash frac\; d\{dx\}y$) för förstaderivatan och $\backslash frac\{d^2y\}\{dx^2\}$ (eller $\backslash frac\{d^2\}\{dx^2\}y$) för andraderivatan.

Om sammanhanget gör det lämpligare att använda $f(x)\backslash$ i stället för $y\backslash$ skriver man

$\backslash frac\; \{d(f(x))\}\{dx\}$ (eller $\backslash frac\{d\}\{dx\}(f(x))$ ) i stället för $f\text{'}(x)\backslash$, $f\backslash$:s derivata.

För $f$:s derivata i en punkt $a$ finns två notationer:

$\backslash frac\{d\backslash left(f(x)\backslash right)\}\{dx\}\backslash left.\{\backslash !\backslash !\backslash frac\{\}\{\}\}\backslash right|\_\{x=a\}\; =\; \backslash left(\backslash frac\{d\backslash left(f(x)\backslash right)\}\{dx\}\backslash right)(a).$

Ibland skrivs detta dock något slarvigt som

$\backslash frac\{d\; f(a)\}\{d\; x\}$

Högre ordningens derivator skrivs som

$\backslash frac\{d^ny\}\{dx^n\}$ eller $\backslash frac\{d^n\; f(x)\}\{d\; x^n\}$i stället för $f^\{(n)\}(x)\backslash$.

Newtons notation

Isaac Newtons notation använder en punkt över funktionen för att beteckna derivata. Den används idag främst inom mekaniken för att beteckna derivator med avseende på tid, för att särskilja dessa från derivator med avseende på rummet. Den används vanligen endast för första och andra ordningens derivator:

$\backslash dot\{x\}\; =\; x\text{'}(t)$ (uttalas 'x-prick')

$\backslash ddot\{x\}\; =\; x\text{'}\text{'}(t)$ (uttalas 'x-prick-prick')

Eulers notation

Leonhard Euler introducerade en notation baserad på en differentieringsoperator:

$\backslash \; D\; f(x)=f\text{'}(x)$

$\backslash \; D^2\; f(x)=f\text{'}\text{'}(x)$

$\backslash \; D^n\; f(x)=f^\{(n)\}(x)$

Deriveringsregler

Vid derivering är det oftast onödvändigt komplicerat att utgå från derivatans definition; istället har man utifrån definitionen härlett derivatorna till de elementära funktionerna och uttryck sammansatta av sådana. Dessa kan man utgå från vid problemlösning.

Linearitet:

$(kf)\text{'}\; =\; kf\text{'}\backslash$ för alla konstanter $k\backslash$

$(f\; +\; g)\text{'}\; =\; f\text{'}\; +\; g\text{'}\backslash$

Produktregeln, även kallad Leibniz formel efter Gottfried Wilhelm von Leibniz:

$(fg)\text{'}=\; f\text{'}g\; +\; fg\text{'}\backslash$

Av dessa två regler följer att för tre faktorer blir produktregeln (och på motsvarande sätt för fler faktorer)

$(fgh)\text{'}=\; f\text{'}gh\; +\; fg\text{'}h\; +\; fgh\text{'}\backslash$

Kvotregeln:

$\backslash left(\; \backslash frac\{f\}\{g\}\; \backslash right)\text{'}\; =\; \{\{gf\text{'}\; -\; fg\text{'}\}\backslash over\{g^2\}\}$

Derivata av invers (om sådan existerar och $\backslash frac\{1\}\{f\text{'}\}$ är väldefinierad):

$\backslash left(f^\{-1\}\; \backslash right)\text{'}(x)=\; \backslash frac\{1\}\{f\text{'}(f^\{-1\}(x))\}$

Kedjeregeln:

$(f(g(x)))\text{'}=\; f\text{'}(g(x))\; g\text{'}(x)\backslash$

eller skriven med Leibniz notation:

$\backslash frac\{dy\}\{dx\}=\backslash frac\{dy\}\{du\}\backslash cdot\backslash frac\{du\}\{dx\}$

De elementära funktionernas derivator

Derivator av exponential- och potensfunktioner

Funktion	Derivata	Grafer för funktion och derivata
$e^\{kx\}\backslash ,$	$ke^\{kx\}\backslash ,$
$a^x\backslash ,$	$a^x\; \backslash ln(a)\backslash ,$
$\backslash ln(x)\; \backslash$	$\backslash frac\{1\}\{x\}\backslash ,$
$x^n\backslash ,$	$nx^\{n-1\}\backslash ,$

De trigonometriska och hyperboliska funktionerna påminner på flera sätt starkt om varandra, vilket även avspeglar sig i deras derivator:

De trigonometriska funktionerna		De hyperboliska funktionerna
Funktion	Derivata	Funktion	Derivata
$\backslash sin(x)\backslash ,$	$\backslash cos(x)\backslash ,$	$\backslash sinh(x)\backslash ,$	$\backslash cosh(x)\backslash ,$
$\backslash cos(x)\backslash ,$	$-\backslash sin(x)\backslash ,$	$\backslash cosh(x)\backslash ,$	$\backslash sinh(x)\backslash ,$
$\backslash tan(x)\backslash ,$	$\backslash sec^2(x)=\backslash frac\{1\}\{\backslash cos^2(x)\}=\backslash tan^2(x)+1$	$\backslash tanh(x)\backslash ,$	$\backslash mbox\{sech\}^2(x)\backslash ,$
$\backslash cot(x)\backslash ,$	$-\backslash csc^2(x)=-\backslash frac\{1\}\{\backslash sin^2(x)\}=-1-\backslash cot^2(x)$	$\backslash mbox\{coth\}(x)\backslash ,$	$-\backslash mbox\{csch\}^2(x)\backslash ,$
$\backslash sec(x)\backslash ,$	$\backslash sec(x)\backslash tan(x)=\backslash frac\{\backslash sin(x)\}\{\backslash cos^2(x)\}$	$\backslash mbox\{sech\}(x)\backslash ,$	$-\backslash mbox\{sech\}(x)\backslash tanh(x)\backslash ,$
$\backslash csc(x)\backslash ,$	$-\backslash csc(x)\backslash cot(x)=-\backslash frac\{\backslash cos(x)\}\{\backslash sin^2(x)\}$	$\backslash mbox\{csch\}(x)\backslash ,$	$-\backslash mbox\{csch\}(x)\backslash coth(x)\backslash ,$
$\backslash arcsin(x)\backslash ,$	$\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{1-x^2\}\}$	$\backslash mbox\{arcsinh\}(x)\backslash ,$	$\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{x^2+1\}\}$
$\backslash arccos(x)\backslash ,$	$-\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{1-x^2\}\}$	$\backslash mbox\{arccosh\}(x)\backslash ,$	$\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{x^2-1\}\}$
$\backslash arctan(x)\backslash ,$	$\backslash frac\{1\}\{1+x^2\}$	$\backslash mbox\{arctanh\}(x)\backslash ,$	$\backslash frac\{1\}\{1-x^2\}$
$\backslash arccot(x)\backslash ,$	$-\backslash frac\{1\}\{1+x^2\}$	$\backslash mbox\{arccoth\}(x)\backslash ,$	$-\backslash frac\{1\}\{1-x^2\}$
$\backslash arcsec(x)\backslash ,$	$\backslash frac\{1\}\{x\backslash sqrt\{x^2-1\}\}$	$\backslash mbox\{arcsech\}(x)\backslash ,$	$\backslash frac\{1\}\{x\backslash sqrt\{1-x^2\}\}$
$\backslash arccsc(x)\backslash ,$	-\frac{1}{>x|\sqrt{x^2-1}}	$\backslash mbox\{arccsch\}(x)\backslash ,$	-\frac{1}{>x|\sqrt{x^2+1}}

Tillämpningar

Derivator utnyttjas allmänt i flera områden inom matematik och fysik, men även andra vetenskaper utnyttjar dem mer eller mindre flitigt.

Kritiska punkter

Det är klart från definitionen av derivata att en funktion växer (dess graf stiger) när derivatan är positiv, och avtar (grafen sjunker) när derivatan är negativ. Om en kontinuerlig funktion med en kontinuerlig derivata skall ha ett extremvärde (maximum eller minimum) i en inre punkt i sin definitionsmängd måste derivatan – om den existerar – följaktligen vara noll där. Punkter där derivatan är noll kallas stationära punkter, och mängden av de stationära punkterna och de punkter där derivatan inte existerar utgör mängden av de kritiska punkterna. De enda punkter i vilka en kontinuerlig funktion kan anta extremvärden är således de kritiska punkterna samt eventuella randpunkter. Därför används derivator flitigt vid systematiska optimeringsproblem – man finner genom ekvationslösning de punkter där derivatan är lika med noll. En stationär punkt kan antingen vara en maximipunkt, en minimipunkt eller en terrasspunkt; derivatans teckenväxling i punkten avgör dess karaktär: om derivatan exempelvis går från plus till minus är punkten en maximipunkt. Som ett alternativ till ett dylikt teckenstudium kan andraderivatan betraktas. Om denna är negativ (vilket är troligt, men inte nödvändigt, om derivatan växlar tecken från plus till minus) är punkten en maximipunkt. Om andraderivatan istället är positiv måste derivatan utföra teckenväxlingen minus till plus, och punkten måste vara en minimipunkt. I de fall andraderivatan är noll kan det såväl röra sig om en terrasspunkt som ett extremvärde. Nedan ges exempel på två funktioner som har stationära punkter i origo, och där andraderivatorna också är noll, men där den ena funktionen har en terrasspunkt medan den andra har ett extremum i form av en minimipunkt i origo.

$f(x)\; =\; x^3\; \backslash Rightarrow\; f\text{'}(x)\; =\; 3\; x^2\; \backslash Rightarrow\; f\text{'}\text{'}(x)\; =\; 6\; x\backslash ,$

$f(x)\; =\; x^4\; \backslash Rightarrow\; f\text{'}(x)\; =\; 4\; x^3\; \backslash Rightarrow\; f\text{'}\text{'}(x)\; =\; 12\; x^2\backslash ,$

Märk att förstaderivatan i origo har ett extremvärde i det första fallet och en terrasspunkt i det andra fallet.

Exempel

För att finna det största värdet som antages av funktionen definierad av $f(x)\; =\; x^3\; -\; 2\; x^2\; +\; x\; -\; 3$ för $0\backslash leq\; x\backslash leq\; 2$ beräknar vi derivatan och bestämmer dess nollställen.

$f\text{'}(x)\; =\; 3\; x^2\; -\; 4\; x\; +\; 1\; =\; 0\; \backslash Leftrightarrow\; x\; \backslash in\; \backslash \{1/3,\; 1\backslash \}$

Eftersom andraderivatan är

$f\text{'}\text{'}(x)\; =\; 6\; x\; -\; 4\backslash ,$

så är

$f$(1/3) = -2 < 0\, och $f$(1) = 2 > 0\,.

Värdena i randpunkterna är $f(0)\; =\; -3$ respektive $f(2)\; =\; -1$.

Följaktligen har funktionen f en lokal maximipunkt för $x\; =\; 1/3$ och en lokal minimipunkt för $x\; =\; 1$. Respektive extremvärden är $f(1/3)\; =\; -77/27$ och $f(1)\; =\; -3$. Det minsta respektive största värde som antas i intervallet är alltså -3 (ändpunkt och lokal minimipunkt) och -1 (ändpunkt).

Fysik

Inom fysiken är derivator vanliga. Speciellt vanligt är derivator med hänseende på tiden, men även derivator med avseende på rumsvariabler förekommer. Inom klassisk mekanik ingår derivator av ett föremåls position nästan alltid i de problem som behandlas, vilket lett till att de fått egna namn, hastighet (förstaderivatan med avseende på tiden av positionen) och accelerationen (andraderivatan av densamma). (Fart är absolutbeloppet av hastigheten.)

Reellvärda funktioner av flera variabler

En funktion av flera variabler kan deriveras med avseende på var och en av dessa; dessa partiella derivator anger då förändringhastigheten i respektive koordinataxels riktning. Vektornenen som består av samtliga dessa partiella derivator kallas gradient till funktionen och spelar en liknande roll för funktioner av flera variabler som den vanliga derivatan gör för funktioner av en variabel; till exempel kan lokala extrempunkter i det inre av definitionsmängden endast återfinnas där gradienten är lika med nollvektorn (eller inte existerar).

Vektorvärda funktioner

För en vektorvärd funktion

$\backslash mathbf\{f\}(t)\; =\; (f\_1(t),\; ...,\; f\_n(t))$

kan derivatan definieras som gränsvärdet

$\backslash mathbf\{f\}\text{'}(t)\; =\; \backslash lim\_\{h\; \backslash to\; 0\}\; \backslash frac\{\backslash mathbf\{f\}(t+h)\; -\; \backslash mathbf\{f\}(t)\}\{h\}$.

Eftersom

$\backslash frac\{\backslash mathbf\{f\}(t+h)\; -\; \backslash mathbf\{f\}(t)\}\{h\}\; =\; \backslash frac\{(f\_1(t+h),\; ...,\; f\_n(t+h))\; -\; (f\_1(t),\; ...,\; f\_n(t))\}\{h\}\; =$

$\backslash left\; (\; \backslash frac\{f\_1(t+h)\; -\; f\_1(t)\}\{h\},\; ...,\; \backslash frac\{f\_n(t+h)\; -\; f\_n(t)\}\{h\}\; \backslash right\; )\; \backslash rightarrow\; (f\_1\text{'}(t),\; ...,\; f\_n\text{'}(t))$ då $h\; \backslash rightarrow\; 0$

ser vi att en vektorvärd funktion faktiskt kan deriveras komponent för komponent; med andra ord återförs beräkningen av en vektoriell derivata på fallet med beräkningen av flera enkla derivator.

Exempel

Om vektorn $\backslash mathbf\{r\}(t)$ anger en partikels position i rummet vid tiden t så kommer första- respektive andraderivatan att ange partikelns hastighets- respektive accelerationsvektor vid tiden t.

Se även

• Integral
• Logaritmisk derivering
• Partiell derivata
• Differentialekvation