Distribution

I matematisk analys är distributioner en sorts generaliserade funktioner. Begreppet används ofta om sannolikhetsfördelningar. Teorin för distributioner möjliggör en utökning av begreppet derivata till alla kontinuerliga funktioner och används för att formulera generaliserade lösningar till partiella differentialekvationenener. Distributioner är viktiga inom fysik och ingenjörsvetenskapen, där många icke-kontinuerliga problem naturligt leder till differentialekvationer vilkas lösningar är distributioner, till exempel Diracs delta-funktion.

Grundläggande idé

Den grundläggande idén är som följer. LÃ¥t f : R ––> R vara en integrerbar funktion, och φ : R ––> R en slät ( = oändligt mÃ¥nga gÃ¥nger deriverbar) funktion som är identiskt noll utom i en given begränsad mängd. DÃ¥ är: ∫ f φdx ett reellt talt som linjär och kontinuerligt beror pÃ¥ φ. Man kan därför betrakta funktionen f som en kontinuerlig linjär funktional pÃ¥ det rum som bestÃ¥r av alla 'testfunktioner' φ. PÃ¥ samma sätt: om P är en sannolikhetsfördelning och φ en testfunktion, sÃ¥ är ∫ φdP ett reellt tal som beror linjärt och kontinuerligt pÃ¥ φ. AlltsÃ¥ kan även sannolikhetsfördelningar betraktas som kontinuerliga linjära funktionaler pÃ¥ rummet av testfunktioner. Mot bakgrund av detta definierar men en distribution som en 'kontinuerlig linjär funktional pÃ¥ rummet av testfunktioner'.

Rummet av distributioner bildar ett reellt vektorrum, eftersom två distributioner på ett naturligt sätt kan adderas, och distributioner kan multipliceras med släta reellvärda funktioner. Däremot finns i allmänhet inte någon multiplikation mellan distributioner.

För att definiera derivatan av en distribution betraktar vi först fallet med en integrerbar funktion f : R ––> R. Om φ är en testfunktion sÃ¥ har vi

∫ f ' φ dx = —∫ f φ' dx

genom att använda partialintegration (observera att φ är noll utanför en begränsad mängd och att därför inga randtermer behöver tas hänsyn till). Detta ger att om S  är en distribution sÃ¥ skulle vi definiera dess derivata S '  som den linjära funktional som avbildar testfunktionen φ pÃ¥ —S (φ' ). Det visar sig att detta är den lämpliga definitionen. Den generaliserar den vanliga definitionen av derivata, varje distribution blir oändligt deriverbar och de vanliga egenskaperna hos derivatan är giltiga.

Diracdeltat (även kallad Diracfunktionen, speciellt i tillämpande omrÃ¥den som fysik och teknik) är den distribution som avbildar testfunktionen φ pÃ¥ φ(0). Den är därför derivatan av funktionen f (x ) = 0 dÃ¥ x < 0 och f (x ) = 1 om x ≥ 0 (Heavisidefunktionen). Derivatan av Diracdeltat är den distribution som avbildar testfunktionen φ pÃ¥ —φ' (0). Den senare distributionen är ett exempel pÃ¥ en distribution som varken är en funktion eller en sannolikhetsfördelning.

Formell definition

I det som följer kommer reellvärda distributioner pÃ¥ en öppen delmängd U av Rⁿ att definieras formellt. (Med smärre ändringar kan man även definiera komplexvärda distributioner, liksom man kan ersätta U med en godtycklig slät mÃ¥ngfald.) Först behövs en förklaring pÃ¥ rummet D(U) bestÃ¥ende av testfunktioner. En funktion φ : U -> R har kompakt stöd om det existerar en kompakt delmängd K av U sÃ¥dan att φ(x) = 0 för alla x i U \ K. Elementen i D(U) är de släta funktionerna φ : U -> R med kompakt stöd. Detta är ett reellt vektorrum. Vi gör det till ett topologiskt vektorrum genom att kräva att en följd (φ_k) konvergerar till 0 omm det existerar en kompakt delmängd K av U sÃ¥dan att alla φ_k är identiskt noll utanför K, och för varje ε > 0 och naturligt tal d ≥ 0 det existerar ett naturligt tal k₀ sÃ¥dant att för alla k ≥ k₀ absolutbeloppet av alla derivator av ordning d av φ_k är mindre än ε. Med denna definition blir D(U) ett fullständigt topologiskt vektorrum (faktiskt ett s.k. LF-rum).

Dualrummet av det topologiska vektorrummet D(U), bestående av alla kontinuerliga linjära funktionaler S : D(U) -> R, är rummet av alla distributioner på U; det är ett vektorrumm och betecknas med D'(U).

Funktionen f : U -> R kallas lokalt integrerbar om den är Lebesgueintegrabel över varje kompakt delmängd K av U. Detta är en stor klass av funktioner vilken inkluderar alla kontinuerliga funktioner. Topologin pÃ¥ D(U) definieras pÃ¥ ett sÃ¥dant sätt att varje lokalt integrerbar funktion f ger en kontinuerlig linjär funktional pÃ¥ D(U) vars värde pÃ¥ testfunktionen φ ges av Lebesgueintegralen ∫_U fφ dx. TvÃ¥ lokalt integrabla funktioner f och g ger samma element i D(U) omm de är lika nästan överallt. PÃ¥ samma sätt kommer varje RadonmÃ¥tt μ pÃ¥ U (vilket inkluderar sannolikhetsfördelningarna) att definiera ett element i D'(U) vars värde av testfunktionen φ är ∫φ dμ.

Som nämnt ovan så indikerar partialintegrationen att derivatan dS/dx av distributionen S i riktning x skall definieras genom formeln

dS / dx (φ) = - S (dφ / dx)

för alla testfunktioner φ. PÃ¥ detta sätt kommer varje distribution att vara oändligt mÃ¥nga gÃ¥nger deriverbar (slät), och derivatan kommer att bli en linjär operator pÃ¥ D'(U).

Rummet D'(U) blir ett lokalt konvext topologiskt vektorrum genom att definiera att följden (S_k) konvergerar mot 0 omm S_k(φ) → 0 för alla testfunktioner φ. SÃ¥ är fallet omm S_k konvergerar likformigt mot 0 pÃ¥ alla begränsade delmängder av D(U). (En delmängd E av D(U) är begränsad om det existerar en kompakt delmängd K av U och tal d_n sÃ¥dana att varje φ i E har sitt stöd i K och har sina n:te derivator begränsade av d_n.) Med avseende pÃ¥ denna topologi sÃ¥ är derivering av distributioner en kontinuerlig operator. Detta är en viktig och önskvärd egenskap som inte delas av de flesta andra derivata-begrepp. Därtill är testfunktionerna (som i sig kan betraktas som distributioner) en tät delmängd av D'(U) med avseende pÃ¥ den här topologin.

Om ψ : U -> R är en oändligt deriverbar funktion och S är en distribution pÃ¥ U sÃ¥ definieras produkten Sψ genom (Sψ)(φ) = S(ψφ) för alla testfunktioner φ. Den vanliga produktregeln för derivatan gäller.

Se även

• Sannolikhetsfördelning.