Division med noll

Försök att införa division med 0

Det går till exempel inte att dividera 1 med 0 och få ett vanligt tal

a\,

som kvot, därför att det inte finns något sådant tal

a\,

som uppfyller att

0 \cdot a = 1

. Det finns likartade begränsningar som kan upphävas genom att man övergår till ett utvidgat talområde; se till exempel komplexa tal. Det är dock omöjligt att införa en ny storhet

a\,

med egenskapen

0 \cdot a = 1

, utan att flera av de grundläggande räknelagarna blir ogiltiga i detta utvidgade talområde. Annars finge man till exempel följande omöjlighet:

1 = 0 \cdot a = (1-1) \cdot a = 1 \cdot a - 1 \cdot a = a-a = 0

Dold division med noll

En vanlig källa till felräkning inom algebran är att man förenklar en likhet genom att dela båda leden med ett uttryck, utan att ta hänsyn till att detta bara är tillåtet om uttrycket är skilt från noll.

Exempel 1: Om man vill lösa ut $x\,$ ur ekvationen $ax = 2a\,$ , där $a\,$ är en reell parameter, så ger division med $a\,$ den unika lösningen $x = 2\,$ , men bara i de fall att parametern $a \neq 0\,$ . Om $a=0\,$ så blir ekvationen $0=0\,$ , och den löses av alla värden på $x\,$ .

Division med noll kan ibland innebära att man får ett till synes orimligt resultat i en ekvation.

Exempel 2: Sätter man $a = b = 1\,$ , så får man

a=b\Rightarrow a^2=ab\Rightarrow a^2-b^2 = ab-b^2 \Rightarrow (a+b)\,(a-b) = b(a-b)\,

Delar man nu båda leden med

a-b\,

, så följer orimligheten

a+b = b\,

, det vill säga

1+1 = 1\,

. Detta är inte korrekt, eftersom

a = b \Rightarrow a-b = 0\,

, varför man inte kan utföra den divisionen.

Division med tal som går mot noll

Trots att division med noll inte är definierad kan en funktion som definieras med ett bråkuttryck ibland gå mot ett gränsvärde när nämnaren går mot noll. En förutsättning för att detta skall fungera är att också täljaren går mot noll. En del funktioner har flera olika gränsvärden när nämnaren går mot 0, beroende på dels vilket nollställe man närmar sig, dels i vilken riktning. Andra funktioner saknar gränsvärden i sådana fall.

Exempel:

$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2$
$\lim_{x\to1}\frac{x^2+1}{x-1}$ finns inte. (Täljaren går mot 2.)
$\lim_{x\to1}\frac{\sqrt$
>