E (tal)

Sökning på 'Eulers tal' leder hit. Inte att förväxlas med Eulertal och Eulers konstant.

Talet e är den matematiska konstant som utgör basen för den naturliga logaritmen,

\ln

. Det fick sin nuvarande beteckning av Leonhard Euler och kallas efter honom ibland Eulers tal.

Talet kan definieras som gränsvärdet

e = \lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n,

eller serien

e^x= \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}

där man sätter in

x = 1

e är ett irrationellt tal. Adderar man några av de första termerna i serien ovan, säg

1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} \approx 2,717

får man en hygglig approximation till e (två korrekta decimaler) vars decimalutveckling börjar 2,718 281 828 459 045... och fortsätter i all oändlighet utan någon synbar systematik i decimalföljden.

Talet förekommer lite varstans i matematiken; bland annat är e^πi + 1 = 0. År 1873 bevisade Charles Hermite att talet e även är ett transcendent tal. Det var därmed det första exemplet på ett 'naturligt förekommande' transcendent tal.

Den kanske viktigaste egenskapen hos e är att derivatan av exponentialfunktionen är densamma som funktionen själv, det vill säga:

{d \over dx}(e^x) = e^x

Serien ovan kan även användas för att ge en definition av exponentialfunktionen i komplex mening, och kan användas som motivation till Eulers formel.

Typografisk aspekt

Enligt den svenska standarden SS 03 61 07 (Grafisk teknik – Sättningsregler – Matematik och kemi) ska e som beteckning för den naturliga logaritmen inte skrivas i kursiv stil, då den är en matematisk konstant och inte en variabel. Detta följs dock inte i någon utsträckning alls, då konstanter också skrivs i kursiv stil.

E (tal)

Typografisk aspekt

Se även