Eulers formel

Se Eulers formel (geometri) för det resultat gällande konvexa polyedrar som även kallas 'Eulers formel'

Eulers formel inom komplex analys, uppkallad efter Leonhard Euler, kan tecknas

$\backslash \; e^\{i\backslash theta\}\; =\; \backslash cos\; \backslash theta\; +\; i\; \backslash sin\; \backslash theta$

Den kopplar således samman exponentialfunktionen och de trigonometriska funktionerna.

En enkel konsekvens av Eulers formel är

$\backslash \; e^\{i\; \backslash pi\}\; +\; 1\; =\; 0$,

en formel som förbluffat matematikstudenter genom tiderna. Formeln relaterar tre tal från helt olika delar av matematiken: talet $e$ från analysen, talet $\backslash pi$ från geometrin, den komplexa enheten/talet $i$ och talet $1$ från aritmetiken. Formeln kopplar som synes samman flera delar av matematiken.

Formeln kan härledas ur Taylorutvecklingen av $e^z$ genom att sätta $z\; =\; i\backslash theta$. Kan även härledas från den komplexa funktionen $z\; =\; \backslash cos\; x\; +\; i\; sin\; x$.

Det finns även en omvänd variant som kallas Eulers formler, vilka istället uttrycker de trigonometriska funktionerna sinus och cosinus med hjälp av exponentialfunktionen:

$\backslash sin\backslash theta=\backslash frac\{e^\{i\backslash theta\}-e^\{-i\backslash theta\}\}\{2i\}$

$\backslash cos\backslash theta=\backslash frac\{e^\{i\backslash theta\}+e^\{-i\backslash theta\}\}\{2\}$

Bevis av Eulers formel

LÃ¥t $z$ vara den komplexa funktionen

$\backslash \; z\; =\; \backslash cos\; x\; +\; i\; \backslash sin\; x$

Då gäller att

$\backslash \; dz/dx\; =\; -\backslash sin(x)\; +\; i\; \backslash cos\; x\; =\; i\; \backslash cos\; x\; +\; i^2\; \backslash sin\; x\; =\; i\; \backslash left(\; \backslash cos\; x\; +\; i\; \backslash sin\; x\; \backslash right)\; =\; iz$

och således

$dz/z\; =\; i\; \backslash \; dx$

Med hjälp av integrering erhålls

$\backslash \; \backslash ln\; z\; +\; C\_1\; =\; ix\; +\; C\_2$

Alltså är

$\backslash \; z\; =\; e^\{ix\; +\; C\}$ där $\backslash \; C=C\_2-C\_1$

Eftersom det nu visats att $\backslash \; \backslash cos(x)\; +\; i\; \backslash sin\; x\; =\; e^\{ix+C\}$ så måste likheten gälla för alla $\backslash \; x$.

Då $\backslash \; z(0)=1$ (på grund av $\backslash \; \backslash cos\; 0\; +\; i\; \backslash sin\; 0\; =\; 1$) så måste $\backslash \; e^C=1$.

Således är $\backslash \; C=0$.

Alltså gäller att $\backslash \; e^\{ix\}\; =\; \backslash cos\; x\; +\; i\; \backslash sin\; x$.

Se även

• Komplexa tal