Eulertal

Eulertalen är heltalssekvens som förekommer i samband med Taylorserier samt i talteori och kombinatorik. Dessvärre finns flera olika konventioner för vad som avses med det n-te Eulertalet: ofta tar man med nollor och negativa tecken i sekvensen, för vilket beteckningen E_n kommer att användas i följande text, medan man i andra tillämpningar bara är intresserad av de nollskilda Eulertalens absolutvärden (här E*_n). Med nämnda beteckningar gäller

E*1 = 1 E*2 = 5 E*3 = 61 E*4 = 1385 E*5 = 50521 E*6 = 2702765 E*7 = 199360981 E*8 = 19391512145 E*9 = 2404879675441 E*10 = 370371188237525 E*11 = 69348874393137901 (sekvens i OEIS)

E0 = 1 E2 = −1 E4 = 5 E6 = −61 E8 = 1385 E10 = −50521 E12 = 2702765 E14 = −199360981 E16 = 19391512145   E1, 3, 5, ... = 0 (sekvens i OEIS)

och sambandet

$E\_\{2n\}\; =\; (-1)^n\; E\_n^*.$

Talen definieras av de genererande funktionerna

$\backslash mathrm\{sec\}\backslash ;x\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; |\; E\_k\; |\; \backslash frac\{x^k\}\{k!\}\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; E\_k^*\; \backslash frac\{x^\{2k\}\}\{(2k)!\}\; =\; 1\; +\; \backslash frac\{x^2\}\{2\}\; +\; \backslash frac\{5x^4\}\{24\}\; +\; \backslash frac\{61x^6\}\{720\}\; +\; \backslash frac\{277x^8\}\{8064\}\; +\; \backslash ldots$

$\backslash mathrm\{sech\}\backslash ;x\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; E\_k\; \backslash frac\{x^k\}\{k!\}\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; (-1)^\{k\}\; E\_\{k\}^*\; \backslash frac\{x^\{2k\}\}\{(2k)!\}\; =\; 1\; -\; \backslash frac\{x^2\}\{2\}\; +\; \backslash frac\{5x^4\}\{24\}\; -\; \backslash frac\{61x^6\}\{720\}\; +\; \backslash frac\{277x^8\}\{8064\}\; -\; \backslash ldots$

där sec betecknar den trigonometriska funktionen 1/cos och sech motsvarande hyperboliska funktion 1/cosh.

Eulertalen förekommer även som specifika värden för Eulerpolynomen.

Asymptotiskt växer talen som

$E\_\{2n\}\; \backslash sim\; (-1)^n\; 8\; \backslash sqrt\{\backslash ,\backslash frac\{n\}\{\backslash pi\}\}\; \backslash left(\; \backslash frac\{4\; n\}\{\backslash pi\; e\}\; \backslash right)^\{2n\}.$

De kan även beräknas med integralen

$\backslash int\_0^\backslash infty\; \backslash frac\{\backslash ln^n(x)\}\{1+x^2\}\backslash ,\; dx=|E\_n|\backslash left(\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash right)^\{n+1\}.$

Se även

• Bernoullital