Exponentialfunktion

Exponentialfunktionen är en matematisk funktion. Den betecknas

$\backslash \; y\; =\; e^x$

eller

$\backslash \; y\; =\; \backslash exp(x)$

där e är basen i den naturliga logaritmen. För reella x är y alltid positivt, och växer då x växer. Den inversa funktionen är den naturliga logaritmen, vilken är definierad för alla positiva värden.

För rent imaginära tal x är exponentialfunktionen cyklisk, om x = it där t är reellt och i den imaginära enheten, så gäller att

$\backslash \; e^\{x\}\; =\; e^\{it\}\; =\; \backslash cos(t)\; +\; i\backslash sin(t)$

Egenskaper

En mer generell exponentialfunktion kan konstrueras genom att sätta

$\backslash \; a^x\; =\; e^\{xln(a)\}$

där a > 0 kallas basen. Det är på detta sätt det definieras för komplexa tal, närmare bestämt som

$\backslash \; a^b\; :=\; \backslash exp(b\; \backslash log\; a)$, där $\backslash log$ betecknar en lämplig gren av den komplexa (flervärda) logaritmen.

Några räkneregler (gäller för alla $a\backslash neq0$):

$\backslash \; a^0\; =\; 1\; \backslash ,\backslash !$

$\backslash \; a^1\; =\; a\; \backslash ,\backslash !$

$\backslash \; a^\{-x\}\; =\; \{1\; \backslash over\; a^x\}\backslash ,\backslash !$

$\backslash \; a^xa^y\; =\; a^\{x+y\}\backslash ,\backslash !$

$\backslash \; \{a^x\; \backslash over\; a^y\}\; =\; a^\{x-y\}\backslash ,\backslash !$

$\backslash \; a^\{xy\}\; =\; (a^x)^y\backslash ,\backslash !$

$\backslash \; (ab)^x\; =\; a^xb^x\backslash ,\backslash !$

$\backslash \; a^\{x/n\}\; =\; \backslash sqrt[n]\{a^x\}\backslash ,\backslash !$

Derivator och differentialekvationer

Derivatan av en exponentialfunktion är åter en exponentialfunktion, närmare bestämt

$\{d\; \backslash over\; dx\}e^\{kx\}\; =\; ke^\{kx\}\; \backslash ,\backslash !$

eller allmänt

$\backslash \; \{d\; \backslash over\; dx\}a^\{kx\}\; =\; \backslash ln(a)ka^\{kx\}\; \backslash ,\backslash !$

Detta ger att en differentialekvation av första ordningen

$\{dy\; \backslash over\; dx\}\; +\; ay\; =\; 0$

har följande lösning

$\backslash \; y\; =\; Ce^\{-ax\}$

Detta uttryck används för att beräkna ränta på ränta, radioaktiva ämnens sönderfallshastighet och det ger en approximation av tillväxten av en population då denna är så liten att medlemmarna i populationen inte konkurrerar nämnvärt med varandra om resurser.

Se vidare om differentialekvationer av första ordningen.

Definition

Det finns minst två olika sätt att definiera exponentialfunktionen:

1. Dels genom en Taylorserie, det vill säga en oändlig serie

   $e^x\; =\; 1\; +\; x\; +\; \{x^2\; \backslash over\; 2!\}\; +\; \{x^3\; \backslash over\; 3!\}\; +\; \{x^4\; \backslash over\; 4!\}\; +\; \backslash cdots\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\{\backslash infty\}\; \{x^k\; \backslash over\; k!\}$

2. där k! betecknar fakulteten av k.
3. Dels genom ett gränsvärde av en talföljd

   $e^x\; =\; \backslash lim\_\{n\; \backslash rightarrow\; \backslash infty\}\; \backslash left(\; 1\; +\; \{x\; \backslash over\; n\}\; \backslash right)\; ^n$

Dessa definitioner klarar dock av att definiera mer generella exponentialfunktioner: x kan vara förutom ett reellt tal, även ett komplext tal, en kvadratisk matris eller ett godtyckligt element ur en Banachalgebra.

Se även

• Exponentiell avbildning