Fraktal

En fraktal, ibland monsterkurva Namnet monsterkurva fick fraktalerna då matematikerna till en början hade stora svårigheter med att behandla fraktalernas märkliga egenskaper. De ansågs vara onaturliga matematiska monster., brukar definieras som 'ett självsimulerande mönster med struktur i alla skalor', vilket betyder att det liknar sig självt på samma sätt som ett träds grenar i sin tur har likadana fast mindre grenar, en så kallad naturlig fraktal. De fraktala mönstren (i 2D) eller strukturerna (vid 3D) skapas vanligtvis genom olika matematiska transformationer som upprepas (itereras) ett stort antal gånger.

Fraktaler kan sägas befinna sig i gränslandet mellan slump och kaos.

Historia

Ordet fraktal konstruerades på 1970-talet av den franske matematikern Benoît B. Mandelbrot och kommer av latinets fractus som betyder 'del av' (fraktion) och syftar på att fraktaler ofta har dimensionstal som inte är heltal. En sierpinskitriangel har till exempel dimensionen $log\; 3\; /\; log\; 2$ vilket är ungefär $1,58496$. Mandelbrot är för övrigt den person som sett till att popularisera fraktalmatematik men han var inte den förste att arbeta med liknande system. Redan ca 100 år tidigare skapades de första fraktala funktionerna av bland annat Giuseppe Peano. Även svensken Helge von Koch var tidigt ute och beskrev redan år 1904 Koch-kurvan och von Kochs snöflinga. Andra pionjärer var till exempel: Pierre Fatou, Gaston Julia och Karl Menger.

Kända fraktaler

Bifurkationsdiagram Binära automater Cantormängden Harter-Heighways drakkurva Henons attraktor IFS

Juliamängden von Kochs kurva Lévys C-kurva Lévys drakkurva Lorenz attraktor L-system

Lyapunov Mandelbrotmängden Mengers tvättsvamp Peanos kurva Sierpinskitriangel von Kochs snöflinga

Kända fraktalister

Aristid Lindenmayer Benoît B. Mandelbrot Edward Lorenz Gaston Julia

Georg Cantor Giuseppe Peano Helge von Koch Karl Menger

Michael Barnsley Paul Pierre Lévy Waclaw Sierpinski Örjan Stenflo

Exempelbilder av fraktaler

Linjära fraktaler i 2D:

]]	]]	]]

Linjära fraktaler i 3D:

]]	]]	]]

Icke linjära fraktaler:

]]	]]	]]

Fraktalers dimension

Fraktaler har ofta en dimension som inte är ett heltal. För att kunna fastställa dimensionen för en fraktal behövs matematiska definitioner på begreppet dimension. Här följer några vanliga definitioner:

• Hausdorffdimension
• Lådräkningsdimension – används vid numerisk beräkning av dimension.

Naturens matematik

Bilden till höger ser ut som ett ormbunksblad. Men är det en ormbunke? Nej självklart inte, det är datorgrafik renderad med en matematisk funktion! Men är det naturens matematik? Även den frågan ger ett nej som svar. Varför? Jo, för att skapa bilden så har ett itererat funktionssytem ('IFS') använts där funktionerna är ett system av fyra olika affina transformationsregler. Den affina transformationens formel ser i det här fallet ut på följande sätt:

$\backslash \; \{x\_\{n+1\}\; =\; a\; x\_n\; -\; c\; y\_n\; +\; e\}$

$\backslash \; \{y\_\{n+1\}\; =\; b\; x\_n\; +\; d\; y\_n\; +\; f\}$

För att skapa ormbunksbladet så har konstanterna i de fyra reglerna följande värden:

IFS	a	b	c	d	e	f
1	0,0	0,35	0,0	0,0	0,0	0,7
2	0,2	0,23	0,26	0,22	0,0	1,3
3	-0,15	0,26	-0,28	0,24	0,0	0,44
4	0,85	-0,04	-0,04	0,85	0,0	1,6

Den första regeln är den som skapar bladets 'stam' och som synes så är konstanterna a, c, e samtliga lika med 0 (noll) vilket kommer att sätta variabeln x till noll. Stammen har ingen bredd, bara höjd. Vilket betyder att den har endast en dimension. Anledningen till att den syns är endast den att datorgrafik är digital, skärmens punkter har en minsta möjlig utbredning, (det går inte att visa mindre än 1 pixeler). Som nämnts ovan så är en fraktal självsimulerande. De övriga reglerna kopierar stammen och skapar de mindre (sekundära) bladens stammar som inte heller de är utbredda i mer än 1 dimension. Upprepas någon av dessa regler flera gånger i rad så kommer stammen för den tredje nivån att skapas o.s.v. Hela ormbunksbladet består egentligen inte av något annat än bladstammar som inte har någon utbredning. Om man betraktar det från en strikt matematisk synvinkel skulle det vara osynligt. Bladet syns endast på grund av att det visas med den digitalt begränsade datorgrafiken och är alltså inte någon matematisk beräkning som skapar ett ormbunksblad, bara endimensionella linjer som egentligen är osynliga. Ett riktigt ormbunksblad däremot består av tredimensionella cell av flera olika typer.

De ekvationssytem som beskriver modellsystem inom modern teoretisk ekologi är kända för sina kaotiska beteenden, så mycket att de numera har ett mycket större intresse som leksaker, eller en ny slags grafik. Naturliga fenomens matematik blir, när de begränsas till en enstaka disciplin, så intrikat och komplicerad att värld efter värld av färgglada abstraktioner öppnar sig för varje ny nivå som undersöks. Det är inte så konstigt att de som ägnar sig åt detta inom olika ämnesområden tror att det fantasivärldar de ser ger glimtar av den verkliga världen, när de i själva verket gått vilse i Mandelbrots fraktalvärld.”

— }, }.

Fotnoter

Se även

• En kuststräckas längd
• Fraktalkonst
• Kaosteori
• Plasma (interferensmönster)

Externa länkar

Att läsa:

• Fraktaler & Kaos förklarat
• Natural fractals in Grand Canyon

Media:

• Sök efter bilder av fraktaler (med Google)
• Besök diskussionsgruppen sci.fractals (via Google)

Program som skapar fraktaler:

• Ultra Fractal - Populärt program för Microsoft Windows.
• Fractint - Finns till de flesta plattformar.
• Makin' Magic Fractals
• ChaosPro - till Microsoft Windows.
• Xaos - Realtidsgenerator - Windows, Mac, Linux, etc.
• FLAM3 - Avancerad IFS editor och renderare för dom flesta plattformar.
• Online Fractal Generator On-line javabaserad fraktalgenerator.
• Illusions IFS Generator — Fraktalprogram och galleri.
• Online Fractal Explorer — En snabb webbaserad mandelbrotutforskare. Genererade fraktaler kan sparas, kommenteras och betygsättas i användarnas galleri.

Ämnen inom matematik relaterade till rummet:	Redigera
Topologi | Geometri | Trigonometri | Algebraisk geometri | Differentialgeometri | Topologi | Algebraisk topologi | Linjär algebra | Fraktal geometri | Kompakt rum