Gränsvärde

Denna artikel handlar om det matematiska begreppet gränsvärde. Se också Gränsvärde (hygieniskt).

Ett gränsvärde för en funktion beskriver hur funktionen beter sig när dess argument kommer nära en viss punkt eller växer sig större och större. Gränsvärden används i Matematisk analys, bland annat för att definiera de viktiga koncepten kontinuerlig och derivata.

Gränsvärdet betecknas med notationen:

$\backslash lim\_\{x\; \backslash rightarrow\; a\}\; f(x)\; =\; A.$

alternativt $f(x)\backslash rightarrow\; A$ då $x\backslash rightarrow\; a$.

BÃ¥da utläses som ”gränsvärdet av $f(x)$ dÃ¥ $x$ gÃ¥r mot $a$ är lika med $A$” eller ”limes av $f(x)$ …”, och innebär att när x är 'nästan' a kommer f(x) att 'nästan' vara A. Viktigt att notera är att f(a) inte behöver vara definierad, och om f(a) är det, behöver det inte nödvändigtvis vara lika med A.

Exempel: Låt f(x)=x³+2. Vi är intresserade av gränsvärdet då $x\backslash rightarrow\; 0$. Ett sätt att ta reda på detta som egentligen inte är helt matematiskt korrekt men som är en bra illustration är att göra en värdetabell:

f(-1)	f(-0,1)	f(-0,01)	f(0)	f(0,01)	f(0,1)	f(1)
1	1,999	1,999999	2	2,000001	2,001	3

Eftersom funktionen tycks närma sig värdet '2' från både höger och vänster så är detta gränsvärdet. Att f(0) faktiskt är 2 har inget med saken att göra. Nedanstående funktion har faktiskt precis samma gränsvärde när x går mot 0:

Det finns dock naturligtvis funktioner för vilka det är långt mer komplicerat att beräkna gränsvärdet. I allmänhet är dessa sådana att man får uttryck på en obestämd form om man försöker sätta in funktionsvärden direkt, som till exempel '$\backslash frac\{0\}\{0\}$' (se division med noll), '$\backslash infty-\backslash infty$' eller '$1^\backslash infty$'.

Exempel: Funktionen $f(x)\; =\; \backslash sin(x)/x$ är inte definierad för $x\; =\; 0$ eftersom division med noll inte är definierat. Däremot är gränsvärdet av $f(x)$ då $x\; \backslash rightarrow\; 0$ lika med 1.

Det är inte alltid ett gränsvärde existerar; till exempel existerar inte gränsvärdet av $1/|x|$ då $x\; \backslash rightarrow\; 0$ eftersom värdet går mot oändligheten. Detta skrivs ibland något oegentligt som att gränsvärdet är oändligheten. Inte heller gränsvärdet av $\backslash sin(x)$ då $x\; \backslash rightarrow\; \backslash infty$ existerar eftersom funktionen oscillerar kring noll utan någon tendens att plana ut. Ett annat exempel är , som inte har något gränsvärde för x = 0. Gränsvärdena från vänster och höger finns dock, med värdena 0 och 1.

Strikt definition

Definitionen av ett gränsvärde är att om det för alla $\backslash epsilon\; >\; 0$ finns ett tal $\backslash delta\; >\; 0$ sådant att för alla x sådana att , så är gränsvärdet för $f(a)$ lika med $A$. Vad detta innebär är att det går att hitta en $\backslash delta$-omgivning till $a$, $a\; \backslash pm\; \backslash delta$, där $f(x)$ är godtyckligt nära $A$.

Om a är oändligheten modifieras ovanstående till att för alla $\backslash epsilon\; >\; 0$ skall det finns ett tal M sådant att för alla x>M .

Alternativ definition

Det finns även en alternativ definition av gränsvärde där man i ovanstående ersätter med . Denna definition förekommer i boken 'Analys i en variabel' av Arne Persson och Lars-Christer Böiers. Man bör dock vara medveten om att denna alternativa definition inte är allmännt accepterad.

Om funktionen inte är definierad i a finns ingen skillnad mellan de två definitionerna, men om funktionen är definierad i a skärper den alternativa definitionen kraven på A och f så att det även krävs att funktionsvärdet f(a) ska sammanfalla med gränsvärdet A, d.v.s. att f ska vara kontinuelig i a.