Gyllene snittet

Gyllene snittet eller φ (Phi) är det förhållande som erhålls när en sträcka delas i en längre del a och en kortare del b så hela sträckan a+b förhåller sig till a som a förhåller sig till b.

$\backslash varphi\; =\; \backslash frac\{a+b\}\{a\}\; =\; \backslash frac\{a\}\{b\}\; =\; \backslash frac\{1\; +\; \backslash sqrt\{5\}\}\{2\}\; \backslash approx\; 1,618\backslash \; 033\backslash \; 988\backslash \; 749\backslash \; 9\backslash \; ...$

eller approximativt 8:5. En rektangel vars sidor förhåller sig som det gyllen snittet kallas den gyllene rektangeln.

Ofta används också det omvända förhållandet, alltså 1/φ. Detta värde brukar betecknas med Φ

$\backslash Phi\; =\; \backslash frac\{a\}\{a+b\}\; =\; \backslash frac\{b\}\{a\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash varphi\}\; =\backslash frac\{2\}\{1\; +\; \backslash sqrt\{5\}\}\; \backslash approx\; 0,618\backslash \; 033\backslash \; 988\backslash \; 749\backslash \; 9\backslash \; ...$

Gyllene snittet var känt redan av Pythagoras och de gamla grekerna och genom tiderna har man i detta förhållande velat se normen för den fullkomliga harmoniern hos mått och proportion inom måleriet, fotoenkonsten, arkitektur, och bildhuggarkonsten.

Historia

Matematikerna i det antika grekland intresserade sig för det vi nu kallar gyllene snittet eftersom värdet ständigt dök upp i olika geometriska figurer och kroppar som pentagramnet och ikosaeder. Upptäckten av förhållandet brukar tillskrivas Pythagoras och hans följeslagare. Dessa hade ett regelbundet pentagram med en inskriven regelbunden femhörning som symbol.

Den första exakta beskrivningen av gyllene snittet återfinns hos Euklides (ca 300 f.Kr.). I sin Elementa betecknar han uppdelningen av en sträcka i gyllene snittets proportioner som 'delning i extrem- och medelförhållande'. Euklides, Elementa, Bok 6. definition 3 Begreppet används i lösningen av flera av problemen i Elementa.t.ex. Euklides, Elementa, Bok 2, Proposition XI Euklides beteckning var fram till mitten av 1800-talet den huvudsakligen använda.

Den medeltida matematikern och fransiskanermunken Luca Pacioli (1445 - 1517) betecknar i sitt verk La divina proportione, publicerad i Venedig år 1509, det gyllene snittet som 'det gudomliga förhållandet'. I den andra delen av detta verk avhandlas den romerske arkitekten Vitruvius idéer om den mänskliga kroppens proportioner som utgångspunkt för arkitektur. Skriften innehåller illustrationer av Leonardo da Vinci som undervisades i matematik av Pacioli. I en annan av da Vincis berömda teckningar, den Vitruvianske mannen från runt 1492, kan man hitta ett approximativt gyllene snitt i förhållandet mellan kvadraten sida och cirkelns radie.

Namnet 'det gyllene snittet' används första gången 1835 av Martin Ohm, bror till Georg Ohm i en lärobok i matematik. Martin Ohm: Lehrbuch der gesamten höhern Mathematik. Bd 2. Friedrich Volckmar, Leipzig 1835

Gyllene snittet som skönhetsideal

Med en början under renässansen har en stor mängd litteratur producerats om gyllene snittets estetiska värde och dess betydelse för utformningen ideala proportioner inom arkitektur, måleri, skulptur och andra konstnärliga områden. En av de första, och kanske mest inflytelserika verk på detta område var den ovan nämnda La divina proportione av Pacioli. Det har senare ifrågasatts om Pacioli verkligen förespråkade just proportionerna hos gyllene snittet utan snarare var anhängare av Vitruvius system med rationella proportioner.Livio, Mario, 2002, The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number, Broadway Books, New York, ISBN 0-7679-0815-5. Oavsett vilket, har hans verk och Da Vincis teckningar haft stort inflytande på efterföljande generationer av konstnärer och arkitekter.

Arkitektur

Den största av pyramiderna i Giza, Cheopspyramiden, har påståtts vara approximativt en gyllene pyramid, d.v.s. en kvadratisk pyramid där höjden på sidoytans triangel och halva basen förhåller sig som φ. En sådan pyramid har en vinkel mellan sidoytan och markplanet på ungefär 51,927°. Olika mätningar har t.ex. gett värden på 51,85°Matila Ghyka, The Geometry of Art and Life, New York, Dover, 1977 (pyramidhöjd 148,2m halva basen 116,4m) och 51,83°,Taylor, The Great Pyramid: Why Was It Built and Who Built It?, 1859 (sidoytans höjd 186,4m halva basen 115,2m) vilket är anmärkningsvärt nära vinkeln i den gyllene pyramiden. Det är dock tveksamt om egyptierna hade de matematiska kunskaper som krävs för att medvetet konstruera en pyramid med sådana proportioner.Eric Temple Bell. The Development of Mathematics, New York: Dover, 1940, s 40 Så vitt man vet kände de endast till den rätvinkliga triangeln med sidorna i förhållandena 3:4:5 och hade ingen kunskap om Pythagoras sats eller andra möjligheter att resonera kring irrationella förhållanden som φ. En pyramid konstruerad utgående från 3:4:5-triangeln skulle ge en lutningsvinkel mellan sidoytan och markplanet på cirka 53,13°, vilket också är ganska nära de uppmätta värdena, och de angivna värden för t.ex. pyramidens höjd varierar flera meter i olika källor.Tour Egypt, http://www.touregypt.net/featurestories/greatpyramid1.htm name='ghyka' />

Vissa studier av byggnaderna på Atens Akropolis, inklusive Parthenon har ansett att många av byggnadsverkens proportioner approximativt sammanfaller med gyllene snittet.Van Mersbergen, Audrey M., 'Rhetorical Prototypes in Architecture: Measuring the Acropolis', Philosophical Polemic Communication Quarterly, Vol. 46, 1998. Detta skulle kunna tyda på att de antika arkitekterna kände till gyllene snittet och medvetet använde sig av dessa proportioner i sina verk. Alternativt, är det möjligt att de bara använde sig av sitt eget omdöme och att detta ledde till just värden som nära sammanföll med gyllene snittet. Å andra sidan kan sentida analyser i efterhand av detta slag kritiseras och ifrågasättas eftersom de lätt påverkas av valet av punkter som man utgår ifrån när man gör mätningarna och slutsatserna därför blir osäkra. Den engelske matematikern Keith Devlin säger 'I själva verket stöds inte det ofta upprepade påståendet att Parthenon i Aten är baserad på gyllene snittets proportioner av verkliga mätningar. Påståendena om grekerna och det gyllene snittet verkar vara utan grund. Det enda vi verkligen vet är att Euklides i sin berömda bok Elementa ... visade hur man kunde beräkna dess värde'.Keith J. Devlin The Math Instinct: Why You're A Mathematical Genius (Along With Lobsters, Birds, Cats, And Dogs) New York: Thunder's Mouth Press, 2005, ISBN 1-56025-672-9 Nära samtida källor som Vitruvius, diskuterar uteslutande proportioner som kan uttryckas med hela tal.

Medeltida exempel på byggnadsverk där gyllene snittets proportioner hittats är katedralen i Florens, Notre-Dame i Paris och klosterporten i Lorsch. Det finns dock inte heller här några historiska belägg för att dessa proportioner är avsiktliga. Ett exempel där man vet att gyllene snittet använts medvetet är dock gamla rådhuset i Leipzig från 1556/57, där tornet är asymmetriskt placerat och delar fasadens längd enligt detta förhållande.

Den franske arkitekten och målaren Le Corbusier (1887-1967), utvecklade ett enhetligt mått- och proportionssystem baserat på mänskliga mått och det gyllene snittet. Han ofentliggjorde detta system i sin skrift Le Modulor 1948. http://www.fondationlecorbusier.asso.fr/fondationlc.htm Han såg sitt system som en vidareutveckling av Vitruvius och Da Vincis tankar. Le Corbusier's Villa Stein i Garches från 1927 är en tillämpning av Modulor-systemet. Husets rektangulära grundplan, fasader och inre struktur är alla utformade enligt gyllene snittets proportioner.Le Corbusier, Le Modulor, s 35, citerad i Padova, Richard, ''Proportion, Science, Philosophy', Architecture, 1999, s 320. Taylor & Francis. ISBN 0-419-22780-6: 'Both the paintings and the architectural designs make use of the golden section'.

Skulptur

För världens vackraste kvinna, Venus Milo, ansågs midjans placering i förhållande till hela kroppslängden följa gyllene snittet.

Måleri och fotokonst

Gyllene snittet tilldelades en nästan magisk betydelse av några renässansteoretiker och utnyttjades i hög grad av vissa målare, i synnerhet Piero della Francesca. Bildytan delas upp enligt formeln 2:3, 3:5, 5:8, 8:13 osv. Det som händer i bilden skall hända i den punkt där Gyllene snittets linjer korsas varvid jämviktsförhållande och harmoni i bilden uppstår. Kompositionen med Gyllene snittet används alltså för att understryka bildinnehållet.

Leonardo da Vincis illustrationer till De Divina Proportione och hans åsikter att gyllene snittet återfinns i många kroppsliga proportioner, har lett till spekulationer om att han använde gyllene snittet i sina egna målningar. Det har t.ex. föreslagits att Mona Lisas ansikte skulle vara målat i dessa proportioner.

Musik

Pionjären inom området mental träning, Lars-Eric Uneståhl, har en teori om att musiker som Mozart, Bach, Bartok m.fl. har byggt sin musik kring den ”gudomliga kvoten” i det gyllene snittet^{[källa behövs;]}.

Gyllene snittet i naturen

Flera personer, bland annat den tyske filosofen och matematikern Adolf Zeising, har ansett sig finna det gyllene snittets proportioner i många av naturens former.Zeising, Adolf, Neue Lehre van den Proportionen des meschlischen Körpers, Leipzig, 1854 Han ansåg t.ex. att naveln delade kroppslängden i detta förhållande, att avståndet upp till naveln i sin tur förhöll sig till avståndet upp till knäet i samma proportion o.s.v. Hans idéer fick stor spridning under 1800-talet och uppfattningen att naturen enligt någon form av naturlag strävade efter sådana proportioner var populär. I praktiken förkommer dock naturligtvis stora variationer i former och proportioner från individ till individ och det är därför diskutabelt om man verkligen kan påvisa gyllene snittets proportioner på detta sätt.

Ett annat ofta nämnt exempel på gyllene snittet i naturen är bladens placering och fördelning hos många plantor. Enligt denna uppfattning växer ofta ett nytt blad ut med en vinkel till föregående blad som är lika med den gyllene vinkeln 137,5 °. Exempel på detta växtmönster skulle vara solrosen, olika kålbarren-växters blad, tall på unga tallskott, fjällen på olika kottar, många palm-ensens och Yucca-arter och ros blomblad. Därmed får bladen en optimal spridning runt stjälken på så sätt att varje blad hamnar på ett ställe där det skuggas minimalt av övriga blad och växten kan därför utnyttja solljuset på bästa möjliga sätt. Återigen kan man påpeka att variationen mellan individer är stor och i det enskilda fallet är fördelningen endast ungefärligt den gyllene vinkeln.

Härledning

Definitionen av gyllene snittet säger att $\backslash frac\{a+b\}\{a\}\; =\; \backslash frac\{a\}\{b\}\; =\; \backslash varphi$. Divideras alla termer i vänsterledet i detta uttryck med $b$ erhålls

$\backslash frac\{\backslash frac\{a\}\{b\}+1\}\{\backslash frac\{a\}\{b\}\}\; =\; \backslash frac\{a\}\{b\}\; =\; \backslash varphi$.

Ur detta får vi sedan

$\backslash frac\{1+\backslash varphi\}\{\backslash varphi\}\; =\; \backslash varphi\; \backslash iff\; \backslash varphi^2\; -\; \backslash varphi\; -\; 1\; \backslash \; =\; \backslash \; 0$.

Denna andragradsekvation har en positiv rot, nämligen:

$\backslash varphi\; =\; \{1\; +\; \backslash sqrt\{5\}\; \backslash over\; 2\}$.

Matematiska egenskaper

Samband med Fibonaccitalen

n	Fn	kvot Fn / Fn-1	Avvikelse från φ      i %
1	1
2	1	1,000000	-38,1966
3	2	2,000000	23,6068
4	3	1,500000	-7,2949
5	5	1,666667	3,00566
6	8	1,600000	-1,11456
7	13	1,625000	0,43052
8	21	1,615385	-0,16374
9	34	1,619048	0,06265
10	55	1,617647	-0,02392
11	89	1,618182	0,00914
12	144	1,617977	-0,00349
13	233	1,618056	0,00133

Kvoten mellan två på varandra följande Fibonaccital (F_n) närmar sig φ då n växer, se tabellen till höger. Detta faktum kan härledas från definitionen av dessa tal: F_n = F_n-1 + F_n-2 vilket ger:

$\backslash frac\; \{F\_n\}\{F\_\{n-1\}\}\; =\; \backslash frac\; \{F\_\{n-1\}\; +\; F\_\{n-2\}\}\{F\_\{n-1\}\}\; =\; 1\; +\; \backslash frac\; \{F\_\{n-2\}\}\{F\_\{n-1\}\}\; =\; 1\; +\; \backslash frac\; \{1\}\{\backslash frac\{F\_\{n-1\}\}\{F\_\{n-2\}\}\}$

Då n växer mot oändligheten innebär detta att kvoten uppfyller samma samband som gäller för φ nämligen

$\backslash varphi\; =\; 1\; +\; \backslash frac\; \{1\}\{\backslash varphi\}$

Ett explicit samband mellan Fibonaccitalen och φ är

$F\_n$

= {{\varphi^n-(1-\varphi)^n} \over {\sqrt 5}} = \over {\sqrt 5}}\,.

Gyllene snittet som det mest irrationella och ädlaste av alla tal

Gyllene snittet är ett irrationellt tal och kan därmed inte uttryckas exakt med ett bråk, d.v.s en kvot mellan två heltal. I viss mening är det också det tal som sämst kan approximeras med ett bråk. Om man tittar på kedjebråksutvecklingen av φ så får man

$\backslash varphi=1+\backslash frac\{1\}\{\backslash varphi\}\; =\; 1+\backslash frac\{1\}\{1+\backslash frac\{1\}\{\backslash varphi\}\}\; =\; 1+\backslash frac\{1\}\{1+\backslash frac\{1\}\{1+\backslash frac\{1\}\{\backslash varphi\}\}\}\; =\; 1+\backslash frac\{1\}\{1+\backslash frac\{1\}\{1+\backslash frac\{1\}\{1\; +\; ...\}\}\}$

Att denna utveckling bara innehåller ettor innebär att man vid en trunkering efter ett visst antal termer får största tänkbara rest jämfört med kedjebråksutvecklingen av andra irrationella tal, och det trunkerade uttrycket därmed är en jämförbart dålig approximation av det exakta värdet för detta antalet termer i en kedjebråksutveckling. Jämfört t.ex. med kedjebråksutvecklingen av π som är

$\backslash pi\; =\; 3+\backslash frac\{1\}\{7+\backslash frac\{1\}\{15+\backslash frac\{1\}\{1\; +\; ...\}\}\}$

vilket efter bara tre termer ger approximationen 333/106 vilket ger ett närmevärde med fyra riktiga decimaler. Samma antal termer från utvecklingen av φ ger närmevärdet 5/3 = 1.66666... som bara har en riktig decimal. Man kan alltså säga att φ är det tal som svårast låter sig approximeras med ett bråk.

Ekvationen $\backslash varphi^2\; =\; 1+\; \backslash varphi$ ger på motsvarande sätt kvadratrotsutvecklingen

$\backslash varphi=\backslash sqrt\{1+\backslash sqrt\{1+\backslash sqrt\{1+...\}\}\}$

som även den ger förhållandevis dåliga approximationer av φ jämfört med vid utvecklingen av andra irrationella tal.

Beräkningsmetoder

Värdet av gyllene snittet kan beräknas med vanliga numeriska metoder. Till exempel Newtons metod använd på ekvationen x² − x − 1 = 0, vars lösning är φ, ger formeln

$x\_\{n+1\}\; =\; \backslash frac\{x\_n^2\; +\; 1\}\{2x\_n\; -\; 1\}$

Med ett lämpligt initialvärde, t.ex. x₁ = 1, konvergerar denna formel kvadratiskt mot φ, d.v.s. varje steg fördubblar ungefär antalet korrekta decimaler. Detta är betydligt snabbare än kända algoritmer för andra irrationellat tal som t.ex. π och e.

Ett annan enkel metod som endast utnyttjar heltalsaritmetik, är att beräkna två stora konsekutiva Fibonacci-tal och sedan dividera dem. Division mellan t.ex. F₂₅₀₀₁ och F₂₅₀₀₀, båda med över 5000 decimaler, ger ett approximativt värde på φ med över 10 000 signifikanta siffror.

Gyllene snittet med 1 050 decimaler är (Sekvens nr A001622 i OEIS)

1.6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576
  2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374
  8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766
  7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788
  0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963
  1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364
  8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221
  2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788
  3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053
  1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710
  1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834
  7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764
  8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115
  8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131
  7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596
  1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175
  3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093
  9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264
  7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149
  9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362
  1076738937 6455606060 5921658946 6759551900 4005559089
  ...

Geometri

Femhörningen och pentagrammet

Som redan de gamla grekerna upptäckte, finns en stark koppling mellan det gyllene snittet och de geometriska figurerna pentagramet och den regelbundna femhörningen. Förhållandet mellan en diagonal och en kant i en regelbunden femhörning är φ, d.v.s (se bilden till vänster).

$\backslash varphi\; =\; \backslash frac\{AC\}\{AB\}$

I pentagrammet är förhållandet mellan olika delar av kanterna just det gyllene snittet (se bild till höger).

$\backslash varphi\; =\; \backslash frac\{AD\}\{AC\}\; =\; \backslash frac\{AC\}\{AB\}\; =\; \backslash frac\{AB\}\{BC\}$

Även talet fem dyker ju upp i formeln för φ ovan.

Ikosaedern

Förhållandet mellan en kant och vissa av diagonalerna i ikosaedern förhåller sig som det gyllene snittet. Detta innebär att man kan tänka sig ikosaedern uppspänd av tre mot varandra vinkelrätt liggande gyllene rektanglar.

Gyllene spiralen

En gyllene rektangel kan delas in i en kvadrat och en mindre gyllene rektangel. Genom att upprepat dela upp den mindre rektangeln på samma sätt får man en figur i vilken en logaritmisk spiral, den s.k. gyllene spiralen, kan ritas in. Spiralen kan approximeras med en följd av kvartscirklar, en i varje kvadrat.

Gyllene triangeln

En likbent triangel där den långa sidan förhåller sig till den korta som det gyllene snittet, kallas en gyllene triangel. Sådana triangler kan bl.a. hittas inskrivna i en regelbunden femhörning. Toppvinkeln i en sådan triangel är 36 grader och basvinklarna 72 grader. En gyllene triangel kan, på liknande sätt som en gyllen rektangel, delas upp i en större triangel och en ytterligare mindre gyllene triangel. Genom att upprepat göra sådana indelningar, får man en serie trianglar genom vars hörnpunkter man kan rita in en gyllene spiral.

Gyllene vinkeln

Om en full cirkel delas in i två vinklar, där den större vinkeln förhåller sig till den mindre som det gyllene snittet, kallas den mindre vinkeln ibland för den gyllene vinkeln och betecknas Ψ. Den gyllene vinkeln är approximativt 137,5 grader. Förhållandet mellan ett helt varv, 360 grader, och den större vinkeln är, på grund av det gyllene snittets egenskaper, också φ.

Kuriosa

• Kreditkort enligt ISO 7810-standarden, som t.ex. VISA och MasterCard, har ett förhållande mellan sidorna på 1:1,586 vilket avviker från den gyllen rektangeln med mindre än 2%.
• En rektangel som är en engelsk mil (1.609344 km) bred och en kilometer lång avviker mindre än 1% från en gyllene rektangeln.

Referenser

• Hela, eller delar av, denna artikel utgörs av översatt text ur en annan språkversion av Wikipedia .
• Hela, eller delar av, denna artikel utgörs av översatt text ur en annan språkversion av Wikipedia .

Se även

• Fibonaccital

Externa länkar

• Gyllene snittet - historik