Komplex analys

Komplex analys är den gren inom matematiken som undersöker holomorfa funktioner, dvs funktioner definierade i något område av det komplexa talplanet, som antar komplexa värdenaa samt är deriverbar i komplex mening. Komplex differentierbarhet har mycket större konsekvenser än vanlig reell differentierbarhet. Till exempel är varje holomorf funktion representerbar som en potensserie i varje öppen skiva i sin definitionsmängd och är därför analytisk. Speciellt är holomorfa funktioner oändligt differentierbara, vilket är långt ifrån fallet för reella differentierbara funktioner. De flesta elementära funktionerna så som polynom, exponentialfunktionen och de trigonometriska funktionerna är holomorfa.

Framstående resultat

Ett centralt verktyg inom den komplexa analysen är kurvintegralen. Integralen runt en sluten kurva av en funktion som är holomorf överallt i området innanför kurvan är alltid noll. Detta är Cauchys integralsats. Värdena av en holomorf funktion inuti en skiva kan beräknas med en speciell kurvintegral på skivans rand (Cauchys integralformel). Kurvintegraler i det komplexa planet används ofta för att bestämma komplicerade reella integraler, och här är teorin om residyer användbar. Om en funktion har en pol eller singularitet vid någon punkt, dvs att det inte finns något finit värde vid denna punkt, kan man definiera funktionens residy vid denna pol, dessa residyer kan användas för att beräkna kurvintegraler gällande funktionen. Detta är innehållet av den kraftfulla residysatsen. Det uppseendeväckande beteendet hos holomorfa funktioner nära singulariteter beskrivs av Weierstrass-Casoratis sats. Funktioner som bara har poler men inga singulariteter kallas meromorfa. Laurentserier liknar Taylorserier, men kan användas för att studera funktioners beteenden nära singulariteter.

En begränsad funktion som är holomorf i hela det komplexa talplanet måste vara konstant. Detta är Liouvilles sats. Denna sats kan användas för att ge ett naturligt och kort bevis av Algebrans fundamentalsats, som säger att kroppen av de komplexa talen är algebraiskt slutet.

Historia

Komplex analys är en av de klassiska områdena inom matematiken med rötter i 1800-talet och i vissa avseenden även tidigare. Viktiga namn är Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass, och många fler på 1900-talet.