Laplaceoperatorn

Laplaceoperatorn är inom vektoranalysen en differentialoperator. Den är lika med summan av alla andra ordningens partiella derivator av en beroende variabel.

Detta motsvarar div(grad φ), därav användandet av symbolen nabla för att representera den:

$\backslash nabla^2\; \backslash phi\; =\; \backslash nabla\; \backslash cdot\; (\; \backslash nabla\; \backslash phi\; )$

Den skrivs även som Δ.

Operatorn förekommer, till exempel, i Laplaces ekvation.

Koordinatrepresentation i 3 dimensioner

Laplace operator är i kartesiska koordinater

$\backslash nabla^2=\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; x^2\}+\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; y^2\}+\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; z^2\}$,

i cylindriska koordinater

$\backslash nabla^2=\backslash frac\{1\}\{r\}\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; r\}\backslash left(\; r\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; r\}\backslash right)\; +\backslash frac\{1\}\{r^2\}\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; \backslash theta\; ^2\}+\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; z^2\}\; =\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; r^2\}\; +\backslash frac\{1\}\{r\}\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; r\}+\; \backslash frac\{1\}\{r^2\}\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; \backslash theta\; ^2\}+\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; z^2\}$,

och i sfäriska koordinater

$\backslash nabla^2=\backslash frac\{1\}\{r^2\}\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; r\}\backslash left(\; r^2\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; r\}\backslash right)\; +\backslash frac\{1\}\{r^2\backslash sin\; ^2\; \backslash theta\}\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; \backslash theta\}\backslash left(\; \backslash sin\; \backslash theta\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; \backslash theta\}\; \backslash right)+\backslash frac\{1\}\{r^2\backslash sin\; ^2\; \backslash theta\}\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; \backslash phi^2\}=\; \backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; r^2\}\; +\backslash frac\{2\}\{r\}\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; r\}\; +\backslash frac\{1\}\{r^2\backslash sin\; ^2\; \backslash theta\}\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; \backslash theta\}\backslash left(\; \backslash sin\; \backslash theta\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; \backslash theta\}\; \backslash right)+\backslash frac\{1\}\{r^2\backslash sin\; ^2\; \backslash theta\}\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; \backslash phi^2\}$.

d'Alemberts operator

En motsvarighet som ibland används inom relativitetsteori och i Minkowskis rumtid eller för att skriva ut vågekvationen betecknas $\backslash Box$ och kallas d'Alemberts operator. I 3+1-dimensionella rum (3 rumsdimensioner och 1 tidsdimension) har den formen

$\backslash Box\; =\; \backslash frac\{1\}\{c^2\}\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; t^2\; \}\; -\; \backslash nabla^2$

där c är ljushastigheten och t är tidskoordinaten.

Se också

• Nablaoperatorn