Lebesgueintegral

En Lebesgueintegral är en av många generaliseringar av begreppet integral. Den är en av de mest använda konstruktionerna inom integrationsteori, som är ett av de stora områdena inom modern matematik.

Dess upphovsman är Henri Lebesgue(1875-1941) som avsåg att introducera en integrationsteori som kunde tillämpas på en större klass av funktioner än den då kända integrationsteorin baserad på Bernhard Riemanns(1826-1866) konstruktion, vilken exempelvis inte kunde tillämpas på funktioner av 'fraktal karaktär'.

Exempel:

Som ett exempel på en sådan funktion kan man ta den funktion $f$ som antar värdet ett (1) på de irrationella talen mellan 0 och 1, samt värdet noll (0) på de rationella talen mellan 0 och 1, d v s, funktionen

$f(x)\; =\; 1,\; \backslash quad\; x\; \backslash in\; [0,1]\; \backslash setminus\; ([0,1]\backslash cap\; \backslash mathbb\{Q\})$ 

och

$f(x)\; =\; 0,\; \backslash quad\; x\; \backslash in\; [0,1]\backslash cap\; \backslash mathbb\{Q\},$ 

där symbolen $\backslash mathbb\{Q\}$ betecknar mängden av alla rationella tal.

Om man försöker att beräkna integralen $\backslash int\_0^1\; f(x)\; \backslash ,\; dx$ med Riemanns konstruktion misslyckas man, eftersom denna konstruktion förutsätter att man kan approximera funktionen $f$ med styckvis konstanta funktioner, vilket är omöjligt för denna funktion eftersom de rationella talen utgör en tät delmängden av de reella tal: Oavsett vilka två reella tal $a$ och $b$ man än väljer finns det alltid minst ett rationellt tal mellan dem. (I själva verket finns det uppräkneligt oändligt många rationella tal mellan $a$ och $b$!) Detta innebär att det aldrig går att finna ett delintervall av [0,1] där funktionen $f$ låter sig approximeras med ett konstant värde. Detta är en konsekvens av dess 'fraktala karaktär': Om man 'zoomar in' en del av funktionskurvan så ser den ut precis likadan som hela funktionskurvan, oavsett hur stor förstoringsgrad man än väljer!

Om man däremot använder sig av Lebesgues konstruktion, kan integralen beräknas och dess värde är $\backslash int\_0^1\; f(x)\; \backslash ,\; dx\; =\; 1.$

Konstruktion

För att beräkna arean under en funktionsgraf finns det väsentligen två sätt att gå tillväga:

1. (Riemanns konstruktion)

Man delar i x-axeln (abskissan) i små delintervall och approximerar funktionen med ett konstant värde över varje delintervall. Arean under grafen blir då, ungefär, summan av de små rektangulära remsornas areor. (Den exakta arean fås om man delar in x-axeln i oändligt många delintervall.)

2. (Lebesgues konstruktion)

Man delar in y-axeln (ordinatan) i små delintervall och approximerar funktionen med ett konstant värde över varje delintervall. Nu får man emellertid inte rektangulära remsor att lägga samman, utan det blir väldigt konstiga figurer som dyker upp. För att kunna mäta deras areor måste man använda ett speciellt mått: Lebesguemåttet (Leb).

Exempel:

Lebesguemåttet är bland annat sådant att

$Leb([0,1])\; =\; 1$ 

och

$Leb([0,1]\; \backslash cap\; \backslash mathbb\{Q\})\; =\; 0.$. 

Om man tillämpar Lebegues konstruktion av integralbegreppet på den ovan definierade funktionen $f$ får man

$$

\int_0^1 f(x) \, dx = 1 \cdot Leb(A) + 0 \cdot Leb(B),

där $A$ är mängden av de tal $x$ där $f(x)\; =\; 1$ och $B$ är mängden av de tal $x$ där $f(x)\; =\; 0$. Men de värden på x där $f(x)\; =\; 1$ är, enligt definitionen av funktionen $f$, de irrationella talen mellan 0 och 1 och de värden på x där $f(x)\; =\; 0$ är de rationella talen mellan 0 och 1. Enligt ovan gäller det att

$$

Leb(A) = Leb([0,1]) - Leb([0,1]\cap\mathbb{Q}) = 1 - 0 = 1

och

$$

Leb(B) = Leb([0,1]\cap\mathbb{Q}) = 0 ,

vilket ger integralen $\backslash int\_0^1\; f(x)\; \backslash ,\; dx\; =\; 1\; \backslash cdot\; 1\; +\; 0\; \backslash cdot\; 0\; =\; 1.$