Historia
Grundläggande introduktion
Linjär algebra emanerade från studiet av
vektorer i det två- och tredimensionella kartesianska rummet. Med en vektor avses här ett riktat linjesegment, ett objekt med en längd eller storlek och en riktning. Vektorer används för att representera fysiska enheter såsom krafterer och de kan adderas med varandra och multipliceras med
skalär och är ett första exempel på ett reellt
vektorrum.
Många av de användbara resultaten i två och tre dimensioner kan också användas i rum med ett godtyckligt antal dimensioner eller till och med i rum med ett oändligt antal dimensioner. Linjär algebra har därför idag utökats till att omfatta rum med n dimensioner. De flesta människor har svårt att visualisera rum med fler än tre eller fyra dimensioner, men sådana matematiska rum är mycket användbara för att representera data. Eftersom vektorer är ordnade listor med n element, så kallade n-tipplar, är det ofta lätt att summera ihop och manipulera grupper av data när man behandlar dem som vektorer.
Om man till exempel vill jämföra BNP för åtta olika nationer kan man genom att ”tillverka” en åttadimensionell vektor (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8) erhålla en enda ”indikator” för relationen mellan dessa olika värden.
Ett grundläggande abstrakt begrepp inom linjär algebra är vektorrum (eller linjärt rum), en del av den abstrakta algebran.
Olika begrepp inom linjär algebra är också av intresse för andra algebraiska strukturer, till exempel gruppenen av matriser eller ringen av linjära avbildningar på vektorrum.
Linjär algebra har också stor betydelse inom matematisk analys vid exempelvis beskrivning av derivatorerer av högre ordning och tensorprodukt.
För att definiera ett vektorrum utgår man från ett kroppar, till exempel kroppen av reella eller komplexa tal. En linjär operator är en avbildning, som uppfyller vissa regler, från ett element i ett linjärt rum till ett annat element, antingen i samma rum eller i ett annat. En sådan avbildning kallas också en transformation och mängden av transformationer på ett vektorrum är, också den, ett vektorrum. Varje linjär transformation kan beskrivas med en matris. Studiet av matriser, inklusive egenskaper för matriser som determinanter och egenvektorer, är en del av den linjära algebran.
Enkelt uttryckt är de linjära problemen de som är lätta att lösa, och det vanligaste sättet att lösa matematiska problem är att försöka reducera andra, mer komplexa problem till linjära problem. Inom till exempel differentialkalkyl använder man sig av linjära approximationer för att beskriva en funktion, och i andra fall krävs det matriser för att man ska kunna hitta en lösning.
Generalisering
Eftersom den linjära algebran har visat sig så framgångsrik har man utvecklat den så att den går att tillämpa även inom andra områden i matematiken. När man räknar på moduler,
tensorer och andra matematiska objekt byter man ut någon av delarna som ingår i den linjära algebran mot andra mer komplexa objekt men tillämpar ofta samma metoder. En vanlig konsekvens av detta är att beräkningarna blir avsevärt mycket svårare att utföra.
Se även
- linjär algebra (ordlista)
Generellt
Speciellt
Lineær algebra
Lineaarialgebra
Algèbre linéaire
Lineær algebra
)
)
)
)
|
Om 
. Denna sida är publicerad under GNU Free Documentation License 