Matematik

Matematik (av grekiska máthema, 'vetenskap') kan definieras som läran om abstrakta storhetererer, struktur och mönster. Matematiken består av metoder för att beskriva och analysera abstrakta samband, samt kunskap i form av redan härledda resultat. Viktiga områden är talteori, algebra, analys, geometri, topologi, mängdteori och statistik, bland många andra.

Matematiken är helt abstrakt och skiljer sig på så sätt från naturvetenskapsk. Då den inte är empiri prövbar, utan bygger på axiom, är den i egentlig mening inte heller att betrakta som en vetenskapen. Dock används den inom flera vetenskaper - huvudsakligen, men inte enbart, naturvetenskapliga sådana - som ett verktyg för att formulera och lösa problem. Matematikens roll är särskilt framträdande inom fysik, vars lagar formuleras matematiskt, och vars framsteg ofta varit intimt sammandbundna med framsteg inom matematiken, då tidiga fysiker ofta var lika mycket matematiker som utvecklade de matematiska redskap de behövde för att lösa olika problem. En stor del av den matematiska forskningen sker dock utan tanke på tillämpningar, och det kan ta årtionden innan nya upptäckter kommer till praktisk nytta. Matematiker är många gånger intresserade av ämnet som sådant, såväl för intellektuell stimulans som för att de upplever det som estetiskt tilltalande.

Historik

Huvudartikel: Matematikens historia

Matematikens historia sträcker sig frÃ¥n förhistorisk tid till nutid. Den innefattar – utöver ett kontinuerligt ansamlande av matematisk kunskap – utveckling av arbetsmetoder och upptäckter av nya tillämpningsomrÃ¥den, och är tätt sammanvävd med naturvetenskapens, tekniknsens och filosofi historia.

Från sitt ursprung i den grundläggande räknekonsten har den matematiska kunskapen och metodiken utvecklats under loppet av årtusenden. Framstående matematiska kulturer fanns bland annat under antiken i Babylonien och Grekland, och under medeltiden i mellanöstern. Utvecklingen kom dock att explodera i det eftermedeltida Europa, väsentligen i samband med den vetenskapliga revolutionen, och i dag bedrivs mer matematisk forskning än någonsin tidigare.

Egenskaper och metodik

Matematiker studerar tal, geometriska figurer, och många andra abstrakta föremål som kan vara mer eller mindre svåra att få en intuitiv uppfattning om. Målet är i allmänhet att försöka upptäcka mönster och sammanhang. Mönstren sammanfattas i form av regler som, förutom att ge en förståelse av de objekt som studeras, kan användas för att lösa nya problem. För att reglerna ska vinna erkännande krävs det också av matematikerna att de genom rigoröst logiskt resonemang bevisar att reglerna verkligen stämmer.

Matematiskt språk och abstraktion

För att beskriva abstrakta begrepp använder matematiker speciella symboler och konventioner. Den matematiska notationen låter matematiker uttrycka ideer på ett koncist och exakt sätt.

Matematikerna har under århundradena utvecklat ett språk för att uttrycka sina resultat och kommunicera med varandra. Det matematiska språket är nödvändigt, eftersom naturliga språk sällan är exakt nog. Detta har lett till att även vanliga ord som 'om' och 'öppen' har en väldigt specifik betydelse inom matematiken.

Bevisföring

Matematiken är objektiv och exakt, eftersom den bygger på logik och är oberoende av den fysiska världen. Oavsett hur starkt stöd utförda observationer ger en naturvetenskaplig teori är det i princip möjligt att nästa observation omkullkastar den, men ett matematiskt resultat är otvivelaktigt och evigt sant då det en gång bevisats.

Matematiska resultat utgörs av satser (eller teorem), antaganden som har bevisats objektivt. Ett matematiskt bevis består av ett antal steg som följer logiska inferensregler. Eftersom varje steg bara kan härleda en sanning från en annan, krävs grundläggande, uppenbara sanningar som alla andra resultat kan falla tillbaka på. Dessa sanningar kallas axiom. Det visar sig att nästan alla kända matematiska resultat kan härledas från endast en handfull axiom, de mängdteoretiska axiomen.

I praktiken följer matematiker ofta sin intuitionen eller experimenterar sig fram då de angriper nya problem, men det är av yttersta vikt att resultaten kan bevisas formellt, då det finns många exempel på 'intuitivt sanna' antaganden från matematikens historia som visat sig vara felaktiga vid grundligare undersökning. Strävan att undanröja möjligheten till sådana fel var en bidragande orsak till utvecklingen av den matematiska formalism som konsoliderades i början av 1900-talet.

Estetik

Matematiker använder ibland ordet 'vackert' för att beskriva till exempel ett bevis eller ett samband. Till skillnad från de flesta andra uttryck inom matematiken är det svårt att specifiera exakt vad som menas med detta, men det kan till exempel innebära att flera olika områden som till en början kan tyckas åtskilda binds samman, en metod som lätt går att använda på många olika problem, eller ett bevis som drar långtgående slutsatser från ett fåtal förutsättningar. Typexemplet på ett vackert uttryck är följande

$e^\{i\backslash pi\}+1=0\backslash ,$

som kopplar samman Eulers konstant e, som är viktigt inom analys, imaginära enheten i från komplex analys, π från geometrin samt 1enen som är grunden för de naturliga tal och 0.

Matematikens filosofi

Huvudartikel: Matematikfilosofi

Precis vad matematik är, och hur matematiska sanningar relaterar till den fysiska världen och det mänskliga sinnet, är omtvistade frågor som studeras inom matematikfilosofin. Ett vanligt perspektiv är platonismen eller realismen, som hävdar att alla matematiska objekt existerar i en parallell idévärld. Matematiken ses som utforskandet av den världen, matematiska resultat som upptäckter. Andra menar att matematiken delvis eller helt och hållet är konstruerad av människor. Den tyske matematikern Leopold Kronecker (1823-1891) anmärkte att 'Gud skapade heltalen. Allt annat är människans verk'.

Den dominerande uppfattningen bland moderna matematiker är den formalistiska, dvs matematik ses som härledningen av teorem i något inferenssystem, utifrån några axiom. Axiomen och inferensreglerna ses inte som naturlagar, utan. Frågan är varför vissa axiom ger sanningar som verkar stämma med den fysiska världen. Formalismen säger ingenting om de matematiska objektens verklighet. Däremot löser den problem, till exempel satser som inte kan avgöras.

Bland andra Eugene Wigner påpekar matematikens 'orimliga effektivitet' inom naturvetenskap.

Många matematiker betraktar delvis ämnet som konst.

Studiet av matematik

Matematik är ett omfattande ämne i skolor i hela världen. Det undervisas också på universitet, där man dessutom bedriver matematisk forskning. Matematisk forskning handlar oftast om att finna bevis för förmodanden, så att de blir teorem. En berömd matematisk facktidskrift är Acta Mathematica.

Tillämpningar

Kvantitativa vetenskaperer, som naturvetenskap, ingenjörsvetenskaper och samhällsvetenskaper, bygger på matematiska modeller. En matematisk modell generaliserar den verklighetr man vill beskriva, och kan användas för att kunna göra förutsägelse.

Ämnen inom matematik

Kvantitet

Tal -- Naturliga tal -- Heltal -- Rationella tal -- Reella tal -- Komplexa tal -- Hyperkomplexa tal -- Kvaternionerer -- Oktonion -- Sedenioner -- Hyperreella tal -- Surreella tal -- Ordinaltal -- Kardinaltal -- p-adiska tal -- Heltalssekvenser -- Matematiska konstanter -- Talnamn -- Oändligheten

Förändring

Aritmetik -- Analys -- Vektoranalys -- Komplex analys -- Differentialekvationer -- Lista över funktioner

Struktur

Abstrakt algebra -- Talteori -- Algebraisk geometri -- Gruppteori -- Monoider -- Analys -- Topologi -- Linjär algebra -- Grafteori -- Universell algebra

Rymd

Topologi -- Geometri -- Trigonometri -- Algebraisk geometri -- Differentialgeometri -- Differentialtopologi -- Algebraisk topologi -- Linjär algebra -- Fraktalgeometri

Diskret matematik

Kombinatorik -- Mängdteori -- Sannolikhet -- Beräkningsteori -- Kryptografi -- Grafteori -- Spelteori

Tillämpad matematik

Mekanik -- Numerisk analys -- Optimering -- Sannolikhetslära -- Statistik -- Finansiell matematik

Berömda satser och hypoteser

Fermats stora sats -- Riemannhypotesen -- Kontinuumhypotesen -- Goldbachs förmodan -- Tvillingprimtaler -- Gödels ofullständighetssats -- Poincarés förmodan; -- Pythagoras sats -- Centrala gränsvärdessatsen -- Algebrans fundamentalsats -- Aritmetikens fundamentalsats -- Fyrfärgssatsen -- Zorns lemma

Matematikens grunder och metoder

Matematikfilosofi -- Intuitionism -- Konstruktivism -- Matematikens grunder -- Mängdteori -- Modellteori -- Bevis -- Logik -- Matematisk logik -- Tabell över matematiska symboler

Grenar inom matematiken

• Algebra
• Matematisk analys
• Aritmetik
• Diskret matematik
• Geometri
• Linjär algebra
• Matematisk statistik
• Mängdteori
• Talteori
• Topologi

Se även

• Matematikterminologi
• Matematiker
• Teorem

Källor

• Saint Andrews Universitet - An overview of the history of mathematics
• Christer Kiselman - Vad är matematik?
• Att forska i matematik

Externa länkar

• Christer Kiselman - Vad är matematik?
• Tord Ganelius - Introduktion till matematiken
• Saint Andrews Universitet - Matematiker som föddes eller dog idag
• Saint Andrews Universitet - Kvinnliga matematiker
• Wolfram Mathworld mathematical resources
• Teknisk studentforlag - E-läring i matematik