Matematisk analys

Matematisk analys är en gren av matematiken som vuxit fram ur algebrann och geometri. Matematisk analys berör främst funktionersers förändringshastigheter, såsom acceleration, kurvor, och lutningar. Den matematiska analysen utvecklades främst av Arkimedes, Leibniz och Newton, med mindre bidrag av Barrow, Descartes, Fermat, Huygens, och Wallis. Fundamentala koncept inom den matematiska analysen är derivataer, integral, och gränsvärden. Ett av de främsta motiven bakom grenens utveckling var att hitta en lösning till problemet att finna en given kurvas tangent.

Den matematiska analysen utgörs huvudsakligen av två områden:

• Differentialkalkylen, som handlar om att finna den ögonblickliga hastigheten (derivatan) av en funktions värde i förhållande till dess argument. En annan tillämpning av differentialkalkylen är Newtons metod, en algoritm för att hitta en funktions nollställe genom att approximera funktionen med hjälp av dess tangent. Fermat beskrivs ibland som differentialkalkylens fader.

• Integralkalkylen, som studerar metoder för att finna integralen av en funktion. En integral kan definieras som det matematiska gränsvärdet av en summa av termer som motsvarar arean under grafen av en funktion. Integration låter oss beräkna arean under en kurva och volymen samt ytarean hos en tredimensionell kropp som till exempel ett klot eller en kon.

Analysens fundamentalsats innebär, i viss mening, att derivering och integration är omvända operationer. Denna insikt hos främst Newton och Leibniz ledde till en mycket snabb utveckling av analysen när deras arbeten blev kända. Sambandet mellan derivata och integraler gör det möjligt att beräkna den totala förändringen i en funktion genom att integrera dess ögonblickliga förändringshastighet. Fundamentalsatsen gör det också möjligt att beräkna många integraler algebraiskt, utan att behöva använda gränsvärden, genom att hitta deras primitiva funktion. Den låter oss också lösa differentialekvationer, ekvationer som relaterar en okänd funktion med dess derivator. Differentialekvationer uppträder så gott som överallt inom vetenskapen, men kanske särskilt mycket inom fysik.

Bland den matematiska analysens fundament finns funktionsbegreppet, gränsvärden, oändliga talföljder, serier, och kontinuitet. Bland de verktyg som används återfinns symbolbehandlingen inom elementär algebra och induktion.

Den matematiska analysen har utvecklats till differentialekvationer, vektoranalys, variationskalkyl, komplex analys och differentialtopologi. Moderna matematisk analys är känd som reell analys, och utgörs av rigorösa härledningar av analysens resultat samt generaliseringar såsom måtteori och funktionalanalys.