Polynom

Ett polynom är ett matematiskt uttryck inom vilket variablererer och konstant kombineras genom enbart addition, subtraktion och multiplikation. Exempelvis är x · x - 4x + 5 ett polynom i variabeln x medan 1/x inte är det. Genom att samla upprepade produkter som potenser kan varje polynom i en variabel x uttryckas pÃ¥ standardformen

$\backslash sum\_\{k=0\}^n\; a\_k\; x^k\; \backslash ;\; =\; \backslash ;\; a\_n\; x^n\; +\; a\_\{n-1\}\; x^\{n-1\}\; +\; \backslash ldots\; +\; a\_1\; x\; +\; a\_0$

där konstanterna a_k kallas koefficienter. Den högsta förekommande exponenten av x (här lika med n om a_n ≠ 0) kallas för polynomets grad. Ofta talar man synonymt om polynomet P och den funktion som avbildar x pÃ¥ P(x), polynomet utvärderat för ett givet värde.

Ett polynom med två termer kallas för ett binom.

Gradtal och benämningar

Polynom av grad 0 till 5 benämns ofta enligt följande tabell:

Grad	Benämning	Funktion	Form
0	Nolltegradspolynom (konstant polynom)	Konstant funktion	$a$
1	Förstagradspolynom (linjärt polynom)	Linjär funktion	$ax\; +\; b$
2	Andragradspolynom (kvadratiskt polynom)	Kvadratisk funktion	$ax^2\; +\; bx\; +\; c$
3	Tredjegradspolynom (kubiskt polynom)	Kubisk funktion	$ax^3\; +\; bx^2\; +\; cx\; +\; d$
4	Fjärdegradspolynom (kvartiskt polynom)	Kvartisk funktion	$ax^4\; +\; bx^3\; +\; cx^2\; +\; dx\; +\; e$
5	Femtegradspolynom (kvintiskt polynom)	Kvintisk funktion	$ax^5\; +\; bx^4\; +\; cx^3\; +\; dx^2\; +\; ex\; +\; f$

Dock finns ingen enighet om hur graden av nollpolynomet, det vill säga det polynom vars alla koefficienter är 0, ska definieras. Vissa författare föredrar att definiera graden av detta till −1, andra definierar det som −∞; ytterligare andra lÃ¥ter det vara odefinierat.

Elementära egenskaper

Polynom är de enklaste elementära funktionerna. Summor och produkter av polynom är polynom, och även derivatorer och integral av polynom är polynom.

Nollställen

En rot eller ett nollställe är ett tal r sÃ¥dan att p(r) = 0. Att hitta rötter till en ekvation, eller att lösa en algebraisk ekvation, är ett av matematikens äldsta problem. En del polynom, som exempelvis p(x) = x² + 1, har ingen reell rot. Men genom att utvidga mängden av möjliga nollställen till de komplexa talen, uppnÃ¥r man att det alltid finns rötter till ett (icke konstant) polynom (se Algebrans fundamentalsats). Ett konjugat till en imaginär rot är alltid ocksÃ¥ en rot till ekvationen, förutsatt att alla koefficienter är reella.

Det är intressant att notera, att det är försök att lösa ekvationer som bidragit starkt till att införa de olika utvidgningarna av de naturliga talen: för att lösa till exempel $x+2=0$ behövs negativa tal, för att lösa $3x=5$ krävs rationella tal (bråk), $x^2-2=0$ behöver irrationella tal (vilket Pythogaras med lärjungar lär ha tyckt sämre om enligt en populär historia), och så slutligen behövs de komplexa talen för att lösa $x^2+2=0$.

Ett polynom med grad större eller lika med fem har ingen generell kompletteringsformel (jfr kvadratkomplettera). Det betyder att en polynomekvation av grad större eller lika med fem måste ofta lösas numeriskt.

Ett flertal numeriska metoder för beräkning av nollställen till polynom är kända. Generellt tillämpbara metoder är exempelvis Newtons metod, Laguerres metod, och Durand-Kerners metod. Dessvärre är numerisk rotberäkning för polynom ett illakonditionerat problem, och avancerade metoder krävs därför för att hantera polynom med högt gradtal.

Polynomvärde

För att beräkna ett polynomvärde i en viss punkt x så evaluerar man inte hela uttrycket. Istället använder man sig utav det mer effektiva Horners algoritm. Om man skall beräkna polynomvärden för flera likaseparerade punkter så är Newtons differensschema ännu effektivare.

Flervariabelpolynom

I flervariabelanalys är polynomen uttryckta i flera variabler. Man säger att totala graden är summan av variablernas maximala potenser i en term. För

$p(x,\; y,\; z)\; =\; 2x^2yz^3\; -\; 3y^2\; +\; 5yz\; -\; 2$

är den totala graden 2 + 1 + 3 = 6.

Se även

• Chebyshevpolynom
• Ehrhartpolynom
• Hermitska polynom
• Hurwitz polynom
• Legendrepolynom
• Polynominterpolation

Externa länkar