Regularitetsaxiomet

Regularitetsaxiomet är ett av de mängdteoretiska axiomen. Det är till exempel ett av axiomen i ZFC, d.v.s. Zermelo-Fraenkels mängdteori med urvalsaxiomet som är det dominerande sättet att axiomatisera mängdteori.

Uttryckt med predikatlogikens formella språk lyder axiomet:

$\backslash forall\; x(\; x\; \backslash neq\; \backslash varnothing\; \backslash to\; \backslash exists\; y\; (y\backslash in\; x\; \backslash land\; y\; \backslash cap\; x\; =\; \backslash varnothing))$

Med ord kan axiomet uttryckas:

För varje icketom mängd x finns ett objekt y i x s.a. y och x har tomt snitt.

Den informella tanken bakom axiomet är att varje mängd innehåller ett s.k $\backslash in$-minimalt element; ett element som bildats 'först' av elementen i mängden. Detta utesluter till exempel kedjor av typen

$x\_1\; \backslash in\; x\_2\; \backslash in\; x\_3\; \backslash in\; x\_1$

då detta skulle innebära att mängden

$\backslash \{x\_1,\; x\_2,\; x\_3\backslash \}$

saknade $\backslash in$-minimalt element.