Steinhaus-Mosers notation

Inom matematiken är Steinhaus–Mosers notation ett sätt att uttrycka extremt höga tal. Det är en utökning av Steinhaus polygon-notation.

(talet n i en triangel) betyder nⁿ.

(talet n i en kvadrat) är ekvivalent med 'talet n inuti n stycken trianglar, samtliga nästlade.'

(talet n i en femhörning) är ekvivalent med 'talet n inuti n stycken kvadrater, samtliga nästlade.'

osv.: n skrivet i en (m+1)-hörning är ekvivalent med 'talet n inuti n stycken m-hörningar, samtliga nästlade..'

I Steinhaus polygonnotation är endast triangeln, kvadraten och en cirkel, , definierade. Cirkeln är ekvivalent med femhörningen i ovan nämnda definition.

Steinhaus definierade:

• 'mega' är talet 2 i en cirkel:
• 'megiston' är talet 10 i en cirkel:

Mosers tal är talet '2 i en megagon', där en 'megagon' är en 'megahörning', dvs en månghörning med 'mega' stycken sidor.

Alternativa notationer:

• Använd funktionerna square(x) och triangle(x)
• lÃ¥t M(n,m,p) vara talet som representeras av talet n i en m-nästlad p-hörning; sedan följer:
  • $M(n,1,3)\; =\; n^n$
  • $M(n,1,p+1)\; =\; M(n,n,p)$
  • $M(n,m+1,p)\; =\; M\backslash big(M(n,1,p),m,p\backslash big)$

och

• • mega = $M(2,1,5)$
  • moser = $M\backslash big(2,1,M(2,1,5)\backslash big)$

Mega

Notera att är redan det ett mycket stort tal, eftersom = square(square(2)) = square(triangle(triangle(2))) = square(triangle(2²)) = square(triangle(4)) = square(4⁴) = square(256) = triangle(triangle(triangle(...triangle(256)...))) [256 trianglar] = triangle(triangle(triangle(...triangle(256²⁵⁶)...))) [255 trianglar] = triangle(triangle(triangle(...triangle(3.2 × 10⁶¹⁶)...))) [254 trianglar] = ...

Eller med den alternativa notationen:

mega = M(2,1,5) = M(256,256,3)

Med funktionen $f(x)=x^x$ har vi mega = $f^\{256\}(256)\; =\; f^\{258\}(2)$ där exponenten representerar en funktionsexponent, inte en numerisk exponent.

Vi har (observera konvensionen att exponenter räknas från höger till vänster):

• M(256,2,3) = $(256^\{\backslash ,\backslash !256\})^\{256^\{256\}\}=256^\{256^\{257\}\}$
• M(256,3,3) = $(256^\{\backslash ,\backslash !256^\{257\}\})^\{256^\{256^\{257\}\}\}=256^\{256^\{257\}\backslash times\; 256^\{256^\{257\}\}\}=256^\{256^\{257+256^\{257\}\}\}$≈$256^\{\backslash ,\backslash !256^\{256^\{257\}\}\}$

På samma sätt:

• M(256,4,3) ≈ $\{\backslash ,\backslash !256^\{256^\{256^\{256^\{257\}\}\}\}\}$
• M(256,5,3) ≈ $\{\backslash ,\backslash !256^\{256^\{256^\{256^\{256^\{257\}\}\}\}\}\}$

osv.

SÃ¥ledes:

• mega = $M(256,256,3)\backslash approx(256\backslash uparrow)^\{256\}257$, där $(256\backslash uparrow)^\{256\}$ betecknar en funktionsexponent av funktionen $f(n)=256^n$.

Om vi avrundar lite mer grovt, (ersätter 257 i slutet av 256), får vi mega ≈ $256\backslash uparrow\backslash uparrow\; 257$, (här används Knuths pilnotation]].

Observera att efter dom första stegen så är värdet av $n^n$ varje gång ungefär lika med $256^n$. Faktum är att det är även ungefär lika med $10^n$. Genom att använda exponenter med basen 10 får vi:

• $M(256,1,3)\backslash approx\; 3.23\backslash times\; 10^\{616\}$
• $M(256,2,3)\backslash approx10^\{\backslash ,\backslash !1.99\backslash times\; 10^\{619\}\}$ ($\backslash log\; \_\{10\}\; 616$ är added till 616)
• $M(256,3,3)\backslash approx10^\{\backslash ,\backslash !10^\{1.99\backslash times\; 10^\{619\}\}\}$ ($619$ är adderat $1.99\backslash times\; 10^\{619\}$, vilket är försumbart; därför är bara 10 adderat till slutet)

• $M(256,4,3)\backslash approx10^\{\backslash ,\backslash !10^\{10^\{1.99\backslash times\; 10^\{619\}\}\}\}$

...

• mega = $M(256,256,3)\backslash approx(10\backslash uparrow)^\{255\}1.99\backslash times\; 10^\{619\}$, där $(10\backslash uparrow)^\{255\}$ betecknar en funktionsexponent av funktionen $f(n)=10^n$. AlltsÃ¥ gäller

Mosers tal

Det har bevisats att Mosers tal, trots att det är extremt stort, är mindre än Grahams tal.

Därför, med Conways kedjepilsnotation,