Stokastisk variabel

En stokastisk variabel kallas även för en slumpvariabel. Det är ett matematiskt objekt som är tänkt att beskriva saker som påverkas av slumpen.

Exempel

Antag att vi singlar en slant. Som vanligt kallar vi slantens sidor för krona respektive klave. Säg att vi har en funktion $X$ som bara kan anta två värden: ett ($1$) och minus ett ($-1$). Om vi ställer kravet på $X$ att den antar värdet $1$ om slanten visar krona och värdet $-1$ om slanten visar klave, så kommer $X$ att vara en sak som påverkas av slumpen. Funktionen X är därför en stokastisk variabel. Om man vill vara matematiskt korrekt så säger man att denna stokastiska variabel är en funktionmet från utfallsrum $\backslash \{krona,klave\backslash \}$ till värdemängden $\backslash \{-1,1\backslash \}.$ Man skriver detta som $X\; :\; \backslash \{krona,klave\backslash \}\; \backslash longrightarrow\; \backslash \{-1,1\backslash \}.$

Om man vill vara ännu mer matematiskt korrekt då man talar om stokastiska variabler, så måste man ta hänsyn till att inte vilken funktion som helst från utfallsrummet till värdemängen får lov att kallas stokastisk variabel. Det är endast de så kallade mätbara funktionerna som får kallas stokastiska variabler. För att definiera sådana funktioner behöver man ha kunskaper inom ämnet måtteori, där begreppet sigma-algebra är av central betydelse. Det är endast då man arbetar med icke-diskreta stokastiska variabler som man behöver involvera måtteori.

Den stokastiska variabeln $X$ i exemplet ovan antar endast två värden. Den är därför ett exempel på en diskret stokastisk variabel. Diskreta stokastiska variabler kan endast anta ett uppräkneligta antal möjliga värden. Det finns även kontinuerlig stokastiska variabler. Sådana kan anta ett överuppräkneligt antal möjliga värden.

Exempel 2

Som ett exempel på en kontinuerlig stokastisk variabel kan vi ta den tid i sekunder räknat, $T$, som det tar för dig att läsa denna mening. Värdet som $T$ kan anta ligger någonstans i intervallet $[0,\backslash infty]$. Detta intervall innehåller överuppräkneligt många punkter. Det är inte särskilt troligt att det tar dig oändligt lång tid att läsa denna mening, varför sannolikheten att T är mycket stor, är att betrakta som noll. För att ange sannolikheten

$P(0\; \backslash leqslant\; T\; \backslash leqslant\; 3)$

att du läser denna mening inom 3 sekunder, behöver man känna till sannolikhetsfördelningen för $T$. Den skulle exempelvis kunna vara exponentialfördelningen, i vilket fall den sökta sannolikheten ges av integralen

$P(0\; \backslash leqslant\; T\; \backslash leqslant\; 3)\; =\; \backslash int\_0^3\; e^\{-t\}\; \backslash ,\; dt\; =\; 1\; -\; e^\{-3\}\; =\; 0.95.$

(Här har vi använt den exponentialfördelning, Exp(1), vars intensitet är lika med ett (1).)

Stokastiska variabler förekommer inom såväl sannolikhetsteori som statistik.

Se också

• faltning