Talteori

Traditionellt är talteorin den gren inom matematiken som rör heltalens egenskaper. Mer allmänt har talteorin kommit att omfatta en vidare typ av problem, som 'lätt förstås av icke-matematiker' och därför blivit en vedertagen teknik för att angripa olika sorters problem. Talteori kan uppdelas i flera områden beroende på metoderna som används och spörsmålen som undersöks.

Typer av talteori

Elementär talteori

I elementär talteori studeras heltalen utan användning av någon av teknikerna från de andra matematikområdena. Frågor om delbarhet, Euklides algoritmn för att beräkna största gemensamma delare, faktorisering av heltalen i primtal , undersökning av perfekta tal och kongruenser hör hemma här. Typiska teorem är Fermats lilla sats, Eulers sats, den kinesiska restsatsen och kvadratiska reciprocitetssatsen.

Undersökning av egenskaperna hos aritmetiska funktioner såsom Möbius funktion och Eulers φ-funktion samt heltalsföljder såsom fakulteter och Fibonaccital ingår också.

Många frågor inom den elementära talteorin är exceptionellt djupa och kräver helt nya angreppssätt. Några exempel är

• Goldbachs förmodan som rör jämna heltal som är summan av tvÃ¥ primtal
• Catalans förmodan rörande heltalsdigniteter i följd
• Primtalstvillingsförmodan om antalet primtalstvillingar
• Collatz förmodan om enkel iteration
• diofantiska ekvationer som till och med har visat sig 'olösbara'. Se även Hilberts tionde problem.

Analytisk talteori

Analytisk talteori använder analys och komplex analys som verktyg för att tackla frågor rörande heltal. Exempel är primtalssatsen och den relaterade Riemannhypotesen. Andra problem som angrips med analytiska metoder är Warings problem, att ett givet heltal representerar en summa av kvadrater, kuber etc., primtalstvillingsförmodan, för att hitta oändligt många primtalspar med skillnaden 2, och Goldbachs förmodan, som antyder att jämna heltal är summan av två primtal.

Bevis för att vissa matematiska konstanter såsom π och e är transcendenta, tillhör också analytisk talteori. Utsagor om transcendenta tal verkar ha flyttat från studiet av heltal. Däremot studeras möjliga värden på polynom med heltalskoefficienter för till exempel e, vilket är tätt kopplat till området diofantisk approximation.

Algebraisk talteori

I algebraisk talteori utvidgas talomrområdet till att också omfatta algebraiska tal, vilka är rötter till polynom med koefficienter som är rationella tal. Denna mängd innehåller element som är analoga med heltal, och som kallas algebraiska heltal. För dessa behöver inte välbekanta egenskaper, som till exempel unik faktorisering, längre gälla. De verktyg som används - galoisteori, representationsteori, gruppkohomologi, klasskroppsteorier och L-funktion - ger dessa talområden en partiell ordningsstruktur.

Ett stort antal teoretiska frågeställningar behandlas genom att studera 'modulo p' för alla primtal 'p' - se ändliga kroppar. Detta kallas lokalisation och leder fram till konstruktionen av p-adiska tal. Denna typ av studier, som uppstått ur algebraisk talteori, kallas lokal analys.

Geometrisk talteori

Geometrisk talteori omfattar alla former av geometri. Den inleds med Minkowskis sats som avhandlar gitterpunkter i konvexa uppsättningar och undersökningar av sfärpackningar. Man kan här även tillämpa algebraisk geometri, speciellt teorin bakom elliptiska kurvor. Fermats stora sats har bevisats med hjälp av dessa tekniker.

Probabilistisk talteori

Algoritmisk talteori

Inom detta område studeras relevanta algoritmer inom talteori. Snabba algoritmer för primtalstest och heltalsfaktorisering har utbredd tillämpning inom kryptografi.

Extern länk

• Basics of Computational Number Theory